Каково отношение числовых выражений А = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/99 и B = 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/100?

Огонек_7071

62

Для решения данной задачи, мы можем сначала выразить оба числовых выражения в виде обыкновенных дробей, чтобы легче сравнивать их отношение.

Посмотрим на выражение А = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/99. Заметим, что в каждом слагаемом знаменатель является последовательным числом. Мы можем выразить это выражение в виде обыкновенной дроби следующим образом:

А = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/99 = \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{99}\)

На данном этапе, мы можем использовать общий метод суммы гармонического ряда для упрощения данного выражения.

Общий метод суммы гармонического ряда гласит, что сумма обратных чисел от 1 до n равна n-ому гармоническому числу (обозначается как H_n), а обратное каждого гармонического числа H_n можно выразить в виде n-го числа гармонического ряда. То есть:

1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = H_n

Теперь мы можем выразить выражение А в виде гармонического числа:

А = H_99

Аналогично, рассмотрим выражение B = 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/100. Выразим его в виде обыкновенной дроби:

B = 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/100 = \(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{100}\)

Используем аналогичный метод, суммы гармонического ряда, чтобы упростить данное выражение:

B = H_100

Теперь, чтобы определить отношение А к B, мы можем просто сравнить значения гармонических чисел H_99 и H_100.

H_99 = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/99
H_100 = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/99 + 1/100

Итак, отношение выражения А к B можно записать как:

\(\frac{А}{B} = \frac{H_99}{H_100}\)

Теперь нам нужно вычислить численные значения гармонических чисел H_99 и H_100 и поделить одно на другое, чтобы получить ответ.