Каково отношение объема первого образованного тела к объему второго, если прямоугольник вращается сначала вокруг

Надежда

35

Чтобы решить данную задачу, мы должны разобраться с процессом вращения прямоугольника и определить отношение объемов.

Предположим, что у нас есть прямоугольник со сторонами \(a\) и \(b\), где \(a\) - большая сторона, а \(b\) - меньшая сторона. Давайте рассмотрим два случая: вращение вокруг большей стороны и вращение вокруг меньшей стороны.

1. Вращение вокруг большей стороны:
При вращении прямоугольника вокруг большей стороны мы получаем цилиндр с высотой \(a\) и радиусом \(b/2\). Чтобы найти объем этого цилиндра, мы используем формулу для объема цилиндра: \(V_1 = \pi \cdot (b/2)^2 \cdot a\).

2. Вращение вокруг меньшей стороны:
Когда прямоугольник вращается вокруг меньшей стороны, мы получаем другой цилиндр с высотой \(b\) и радиусом \(a/2\). Объем этого цилиндра можно найти с помощью формулы для объема цилиндра: \(V_2 = \pi \cdot (a/2)^2 \cdot b\).

Чтобы найти отношение объема первого образованного тела к объему второго, мы делим \(V_1\) на \(V_2\):
\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{\pi \cdot (b/2)^2 \cdot a}{\pi \cdot (a/2)^2 \cdot b}
\]

Далее мы можем упростить данное выражение, сократив \(\pi\) и раскрыв соответствующие скобки:
\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{(b/2)^2 \cdot a}{(a/2)^2 \cdot b}
\]

Упрощая это выражение еще больше, мы получим:
\[
\frac{V_1}{V_2} = \frac{1}{4}
\]

Таким образом, отношение объема первого образованного тела к объему второго равно \(\frac{1}{4}\).