Каково отношение ускорений a1/a2, которое получают шарики при столкновении на гладкой поверхности, если радиус первого

Пугающая_Змея

41

Для решения данной задачи мы можем использовать закон сохранения импульса. В силу того, что столкновение происходит на гладкой поверхности, отсутствует трение, а следовательно, общий импульс системы шариков сохраняется.

Пусть \(m_1\) и \(m_2\) - массы первого и второго шариков соответственно, \(v_1\) и \(v_2\) - их скорости перед столкновением, \(u_1\) и \(u_2\) - их скорости после столкновения, \(a_1\) и \(a_2\) - ускорения шариков.

Согласно закону сохранения импульса, сумма импульсов до столкновения равна сумме импульсов после столкновения:

\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 + m_2 \cdot u_2\)

Так как столкновение происходит на гладкой поверхности, то скорости шариков после столкновения равны, но имеют противоположные направления, то есть \(u_1 = -u_2\). Заменим это в уравнении:

\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot u_1 - m_2 \cdot u_1\)

Подставим значения скоростей \(v_1\) и \(v_2\) в данное уравнение. Так как радиус первого шарика в 4 раза меньше радиуса второго шарика, то масса первого шарика будет \(m_1 = \frac{4}{3} \pi r_1^3 \rho\), а масса второго шарика будет \(m_2 = \frac{4}{3} \pi r_2^3 \rho\), где \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы шариков, а \(\rho\) - плотность материала шариков.

Также, учитывая, что скорости перед столкновением равны, то \(v_1 = v_2 = v\) (можно сократить на \(v\) обе части уравнения).

Теперь уравнение принимает вид:

\(\frac{4}{3} \pi r_1^3 \rho \cdot v + \frac{4}{3} \pi r_2^3 \rho \cdot v = \frac{4}{3} \pi r_1^3 \rho \cdot u_1 - \frac{4}{3} \pi r_2^3 \rho \cdot u_1\)

Сократим на \(\frac{4}{3} \pi \rho\):

\(r_1^3 \cdot v + r_2^3 \cdot v = r_1^3 \cdot u_1 - r_2^3 \cdot u_1\)

Выразим \(u_1\) через \(u_1 = a_1 \cdot t\) и \(v\) через \(v = a \cdot t\), где \(t\) - время столкновения:

\(r_1^3 \cdot a_1 \cdot t + r_2^3 \cdot a_2 \cdot t = r_1^3 \cdot a_1 \cdot t - r_2^3 \cdot a_1 \cdot t\)

Сократим на \(t\):

\(r_2^3 \cdot a_2 = r_2^3 \cdot a_1\)

Теперь выразим \(a_1/a_2\):

\(\frac{a_1}{a_2} = \frac{r_2^3}{r_2^3} = 1\)

Ответ: \(\frac{a_1}{a_2} = 1\)