Каково расстояние между вершиной d1 и: а) вершиной b в единичном кубе а...d1? б) ребром ab в единичном кубе а...d1?

Magicheskiy_Labirint_1326

49

Давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди.

а) Чтобы определить расстояние между вершиной d1 и вершиной b в единичном кубе a...d1, мы можем использовать теорему Пифагора для трехмерного пространства. Для этого нам понадобятся координаты каждой вершины.

Единичный куб a...d1 имеет стороны длиной 1. Предположим, что координаты вершины d1 равны (x1, y1, z1), а координаты вершины b равны (x2, y2, z2).

Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве можно определить по формуле:

\[
\sqrt{{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2}}
\]

Определим координаты вершины d1 и вершины b в единичном кубе. В единичном кубе все стороны равны 1, поэтому координаты вершины d1 будут (1, 1, 1), а координаты вершины b будут (0, 0, 0).

Подставим значения координат в формулу:

\[
\sqrt{{(0 - 1)^2 + (0 - 1)^2 + (0 - 1)^2}} = \sqrt{{1 + 1 + 1}} = \sqrt{3}
\]

Таким образом, расстояние между вершиной d1 и вершиной b в единичном кубе a...d1 равно \(\sqrt{3}\).

б) Чтобы определить расстояние между вершиной d1 и ребром ab в единичном кубе a...d1, мы можем использовать аналогичный подход. Но в этом случае нам нужно определить расстояние между двумя объектами: точкой (вершиной d1) и отрезком (ребром ab).

В этом случае нам также понадобятся координаты вершины d1 и координаты вершин ребра ab.

Координаты вершины d1 в единичном кубе a...d1 - (1, 1, 1), а координаты вершин ребра ab в единичном кубе a...d1 - (0, 0, 0) и (1, 0, 0).

Чтобы найти расстояние между точкой и отрезком, мы можем использовать формулу, которая называется "Расстояние от точки до прямой в трехмерном пространстве". Ее можно применить, так как ребро ab является прямой линией в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

\[
d = \frac{{\lvert (x2-x1)(y1-y0)-(x1-x0)(y2-y1)\rvert}}{{\sqrt{{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2}}}}
\]

Подставим значения координат в формулу:

\[
d = \frac{{\lvert (1-0)(0-1)-(0-1)(0-1)\rvert}}{{\sqrt{{(1-0)^2+(0-1)^2+(0-1)^2}}}} = \frac{{\lvert 1 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-1) \rvert}}{{\sqrt{{1+1+1}}}} = \frac{{\lvert -1 - 1 \rvert}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{|-2|}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{2}}{{\sqrt{3}}}
\]

То есть, расстояние между вершиной d1 и ребром ab в единичном кубе a...d1 равно \(\frac{{2}}{{\sqrt{3}}}\).

в) Чтобы определить расстояние между вершиной d1 и гранью bb1c1c в единичном кубе a...d1, мы можем использовать аналогичный подход. В этом случае нам также понадобятся координаты вершины d1 и координаты вершин грани bb1c1c.

Координаты вершины d1 в единичном кубе a...d1 - (1, 1, 1), а координаты вершин грани bb1c1c в единичном кубе a...d1 - (0, 0, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1).

Определим координаты вершин грани bb1c1c и вычислим расстояние между вершиной d1 и гранью bb1c1c, используя формулу расстояния от точки до плоскости. Эта формула выглядит следующим образом:

\[
d = \frac{{\lvert Ax + By + Cz + D \rvert}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 + C^2}}}}
\]

где (x, y, z) - координаты точки, A, B, C, D - коэффициенты плоскости.

Расстояние от вершины d1 до плоскости bb1c1c можно определить, используя любую из вершин этой плоскости. Давайте возьмем вершину bb1 с координатами (0, 0, 1). Зная, что уравнение плоскости можно записать в виде x + y - z + D = 0, найдем D:

\[
0 + 0 - 1 + D = 0
\]

\[
D = 1
\]

Теперь подставим значения координат в формулу:

\[
d = \frac{{\lvert 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 + 1 \rvert}}{{\sqrt{{1^2 + 1^2 + (-1)^2}}}} = \frac{{\lvert 1 + 1 - 1 + 1 \rvert}}{{\sqrt{{1 + 1 + 1}}}} = \frac{{\lvert 2 \rvert}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{2}}{{\sqrt{3}}}
\]

Таким образом, расстояние между вершиной d1 и гранью bb1c1c в единичном кубе a...d1 также равно \(\frac{{2}}{{\sqrt{3}}}\).

Надеюсь, эти пошаговые решения помогут вам лучше понять, как определить расстояние между вершиной d1 и различными объектами в единичном кубе a...d1.