Каково расстояние от точки F до прямой AB в данном прямоугольнике ABCD, где AB = 6√3 и угол PFA = 30°?

Пушок

47

Чтобы найти расстояние от точки F до прямой AB в прямоугольнике ABCD, мы можем воспользоваться методом перпендикулярного проведения. Давайте проделаем следующие шаги:

Шаг 1: Изобразите прямоугольник ABCD с точкой F, угол PFA и прямой AB.

Шаг 2: Постройте перпендикуляр из точки F на прямую AB и обозначите точку пересечения этого перпендикуляра с прямой AB точкой E.

Шаг 3: Обозначим отрезок AE как \(a\) и отрезок EB как \(b\). Объясним, почему мы вводим эти обозначения.

Шаг 4: Теперь, поскольку треугольник AEF - прямоугольный, мы можем использовать соотношение гипотенузы и катетов в прямоугольном треугольнике. В данном случае, гипотенуза - отрезок AF, один катет - отрезок AE (\(a\)), и второй катет - отрезок EF.

Шаг 5: Запишем уравнение этого соотношения:

\[AF^2 = AE^2 + EF^2\]

Шаг 6: Определим значения отрезков AE и EF. Мы знаем, что угол PFA = 30°, и AB = 6√3. Обозначим длину отрезка AE как \(a\). Тогда длина отрезка EF будет равна \(a \cdot \tan(30°)\).

Шаг 7: Подставим эти значения в уравнение из шага 5:

\[AF^2 = a^2 + (a \cdot \tan(30°))^2\]

Шаг 8: Упростим это уравнение:

\[AF^2 = a^2 + a^2 \cdot \tan^2(30°)\]

Обратите внимание, что \(\tan^2(30°)\) = \(\frac{1}{3}\).

Шаг 9: Подставим этот результат и другие известные значения в уравнение:

\[AF^2 = a^2 + a^2 \cdot \frac{1}{3}\]

\[AF^2 = a^2 \left(1 + \frac{1}{3}\right)\]

\[AF^2 = a^2 \cdot \frac{4}{3}\]

Шаг 10: Упростим полученное уравнение:

\[AF^2 = \frac{4}{3} a^2\]

Шаг 11: Теперь найдем значение отрезка AE (\(a\)). Для этого используем геометрические соотношения внутри прямоугольника ABCD.

Шаг 12: Прямоугольник ABCD можно разделить на два равных треугольника ABE и BCФ, так как AD = AB и угол BAF = 30°.

Шаг 13: Возьмем треугольник ABE. Угол А = 90°, угол АEB = 60° (так как угол BAE = 90° - угол BAF = 90° - 30° = 60°).

Шаг 14: В треугольнике ABE у нас есть два угла, равнаяющихся 60° и 90°. Это означает, что треугольник ABE - равносторонний треугольник. Значит, все его стороны равны друг другу.

Шаг 15: Мы знаем, что AB = 6√3. Поскольку треугольник ABE - равносторонний, все его стороны будут равны 6√3.

Шаг 16: Теперь у нас есть значение отрезка AE (\(a\)). Он равен 6√3.

Шаг 17: Подставим значение отрезка AE (\(a\)) в уравнение из шага 10:

\[AF^2 = \frac{4}{3} \cdot (6\sqrt{3})^2\]

Шаг 18: Вычислим это:

\[AF^2 = \frac{4}{3} \cdot 108\]

Шаг 19: Упростим это:

\[AF^2 = \frac{432}{3}\]

\[AF^2 = 144\]

Шаг 20: Вычислим корень из полученного уравнения, чтобы найти значение отрезка AF:

\[AF = \sqrt{144}\]

Шаг 21: Рассчитаем это:

\[AF = 12\]

Таким образом, расстояние от точки F до прямой AB в данном прямоугольнике ABCD равно 12.