Каково решение неравенства 3 * 9^х - 10 * 3^x + 3

Oksana_1300

52

Для решения данного неравенства, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Позвольте мне показать пошаговое решение:

1. Заметим, что данное неравенство содержит два слагаемых, включающих степени чисел 9 и 3. Давайте заменим переменную \(z = 3^x\). Теперь наше неравенство примет вид: \(3z^2 - 10z + 3\).

2. Решим полученное квадратное уравнение. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти корни уравнения.

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 3\), \(b = -10\) и \(c = 3\).

Подставим значения в формулу: \(D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64\).

Итак, у нас имеется положительный дискриминант.

3. Найдем корни уравнения, используя формулу корней квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Подставим значения в формулу:
\(x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3\).
\(x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\).

4. Вернемся к нашей замене переменной \(z = 3^x\) и решим полученные равенства относительно \(x\).

Для \(z = 3^x = 3^3 = 27\), получим \(x = \log_3(27) = 3\).
Для \(z = 3^x = 3^{\frac{1}{3}}\), получим \(x = \log_3\left(3^{\frac{1}{3}}\right) = \frac{1}{3}\).

5. Проверим наши решения неравенства. Заменим переменную \(x\) обратно:
При \(x = 3\) неравенство превращается в \(3 \cdot 9^3 - 10 \cdot 3^3 + 3 = 3 \cdot 729 - 10 \cdot 27 + 3 = 2187 - 270 + 3 = 1920\).
При \(x = \frac{1}{3}\) неравенство превращается в \(3 \cdot 9^{\frac{1}{3}} - 10 \cdot 3^{\frac{1}{3}} + 3 = 3 \cdot 3 - 10 \cdot \sqrt[3]{3} + 3 = 9 - 10 \cdot \sqrt[3]{3} + 3\).

Значение первого выражения равно 1920, а значение второго выражения составляет около -3.88.

Таким образом, решением данного неравенства \(3 \cdot 9^x - 10 \cdot 3^x + 3\) является \(x = 3\).