Каково решение уравнения, где у нас есть корень из разности 1 и х, минус корень из разности 13 и х, равен корню

Вельвет

1

Данная задача требует нахождения решения уравнения с корнями и использования этих корней для дальнейших вычислений. Давайте решим ее пошагово:

1. Предположим, что у нас есть уравнение: \(\sqrt{1-x} - \sqrt{13-x} = \sqrt{x}\).

2. Для начала, чтобы упростить наше уравнение, давайте избавимся от корней в нем. Для этого возведем каждую сторону уравнения в квадрат:

\((\sqrt{1-x} - \sqrt{13-x})^2 = (\sqrt{x})^2\).

Получим: \(1 - 2\sqrt{1-x}\sqrt{13-x} + 13 - 2x + x = x\).

3. Сократим некоторые члены и упростим выражение:

\(14 - 2\sqrt{(1-x)(13-x)} - 2x + x = x\).

\(14 - 2\sqrt{(1-x)(13-x)} - x = 0\).

4. Теперь давайте избавимся от корней, переместив член "-2\sqrt{(1-x)(13-x)}" на правую сторону уравнения:

\(14 - x = 2\sqrt{(1-x)(13-x)}\).

5. Для упрощения дальнейших вычислений возведем обе стороны в квадрат:

\((14 - x)^2 = (2\sqrt{(1-x)(13-x)})^2\).

Получим: \((14 - x)^2 = 4(1-x)(13-x)\).

6. Раскроем скобки и упростим выражение:

\(196 - 28x + x^2 = 52 - 4x - 52x + 4x^2\).

\(0 = 3x^2 - 24x - 36\).

7. Теперь наше уравнение приняло квадратный вид. Давайте найдем его корни, используя квадратное уравнение:

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), где a = 3, b = -24 и c = -36.

\(D = (-24)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-36) = 576 + 432 = 1008\).

Корни квадратного уравнения можно найти по формуле: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).

Подставим значения в формулу:

\(x = \frac{-(-24) \pm \sqrt{1008}}{2 \cdot 3}\).

\(x = \frac{24 \pm \sqrt{1008}}{6}\).

\(x = \frac{8 \pm \sqrt{252}}{2}\).

\(x = \frac{8 \pm 6\sqrt{7}}{2}\).

\(x = 4 \pm 3\sqrt{7}\).

Таким образом, решением данного уравнения являются два значения: \(x_1 = 4 + 3\sqrt{7}\) и \(x_2 = 4 - 3\sqrt{7}\).