Каково утверждение теоремы Фалеса относительно треугольники равные по длинам сторон и двум прилежащим углам?

Ryzhik

64

Теорема Фалеса утверждает следующее:

Если в треугольниках противолежащие стороны пропорциональны, то два прилежащих угла равны.

Чтобы лучше понять это утверждение, представим себе два треугольника: треугольник ABC и треугольник DEF. Предположим, что отношение длин сторон треугольников равно, то есть \(\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}\).

Теперь рассмотрим углы треугольников. По теореме Фалеса углы BAC и EDF являются прилежащими углами и они равны.

Обоснование:

Предположим, что углы BAC и EDF не равны. Рассмотрим случай, когда угол BAC больше, чем угол EDF.

Для начала примем две точки G и H на отрезках AB и DE соответственно. Сделаем эти отрезки равными между собой: AG = DH.

Так как отрезки AB и DE пропорциональны, то мы можем сказать, что AG/DE = BG/EF = CG/DF = k, где k - постоянное значение.

Итак, построим плоскости, проходящие через отрезки BH и EF, и плоскости, проходящие через отрезки BG и CF.

Рассмотрим теперь угол BAО, где O - точка пересечения плоскостей BH и BG. Очевидно, что этот угол меньше угла BAC, так как дополнительные линии, проходящие через BH и BG, увеличивают угол.

Теперь рассмотрим угол BОD, где O - точка пересечения плоскостей EF и CF. Так как отношение длин BC и EF равно \(k\), то угол BОD будет равен углу BAC.

Но согласно начальному предположению, угол BAC больше, чем угол EDF. Это противоречит факту, что углы в треугольнике суммируются в 180 градусов.

Следовательно, наше предположение неверно и углы BAC и EDF должны быть равными.

Таким образом, теорема Фалеса утверждает, что если в треугольниках противолежащие стороны пропорциональны, то два прилежащих угла равны.