Каково значение b и каково значение второго корня уравнения 6x² - bx + 4 = 0, если 1/3 является корнем?

Ogon_86

44

Для решения этой задачи мы начнем с использования факта, что если число \( \frac{1}{3} \) является корнем квадратного уравнения \(6x^2 - bx + 4 = 0\), то оно должно удовлетворять уравнению, то есть подставление в уравнение должно привести к равенству нулю. Давайте начнем с этого:

\[6 \left(\frac{1}{3}\right)^2 - b\left(\frac{1}{3}\right) + 4 = 0\]

Упростим это уравнение:

\[6 \cdot \frac{1}{9} - \frac{b}{3} + 4 = 0\]

Умножая 6 на \( \frac{1}{9} \), мы получаем \( \frac{6}{9} \) или просто \( \frac{2}{3} \):

\[\frac{2}{3} - \frac{b}{3} + 4 = 0\]

Теперь приведем все слагаемые к общему знаменателю:

\[\frac{2 - b + 12}{3} = 0\]

Объеденим числитель:

\[\frac{14 - b}{3} = 0\]

Теперь это уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю. Итак:

\[14 - b = 0\]

Решаем это уравнение относительно \( b \):

\[b = 14\]

Таким образом, значение \( b \) равно 14.

Теперь найдем второй корень уравнения \( 6x^2 - bx + 4 = 0 \). Мы уже знаем, что \( \frac{1}{3} \) является одним из корней. Мы можем использовать это знание, чтобы найти второй корень, применяя формулу суммы и произведения корней.

По формуле, сумма корней \( x_1 \) и \( x_2 \) в квадратном уравнении \( ax^2 + bx + c = 0 \) равна:

\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]

В нашем случае, сумма корней равна:

\[x_1 + x_2 = -\frac{-b}{6}\]

Подставим значение \( b = 14 \):

\[x_1 + x_2 = -\frac{-14}{6}\]

Получаем:

\[x_1 + x_2 = \frac{7}{3}\]

Таким образом, второй корень уравнения \( 6x^2 - bx + 4 = 0 \) равен \( \frac{7}{3} \).

Итак, значение \( b \) равно 14, а второй корень уравнения равен \( \frac{7}{3} \).