Как найти значения переменных x и y в системе уравнений ху=24 и (у-2)(х+1)=20?

Mishka

42

Хорошо, рассмотрим данную систему уравнений:
\[
\begin{align*}
xy &= 24 \quad (1) \\
(y-2)(x+1) &= 20 \quad (2)
\end{align*}
\]

Для начала, давайте решим первое уравнение (1). Нам нужно найти значения переменных \(x\) и \(y\), когда их произведение равно 24. В данном случае, возможны несколько комбинаций: например, \(x = 1\) и \(y = 24\), или \(x = 24\) и \(y = 1\), так как \(1 \cdot 24 = 24\). Также можно рассмотреть комбинации \(-1 \cdot -24\) и \(-24 \cdot -1\), так как произведение двух отрицательных чисел также равно 24.

Теперь перейдем ко второму уравнению (2). У нас есть \(x\) и \(y\) в данной формуле, и нам нужно найти значения, при которых выражение равно 20. Для этого разложим уравнение на множители и решим относительно переменных:
\[
(y-2)(x+1) = 20
\]

Раскроем скобки:
\[
xy + x - 2y - 2 = 20
\]

Теперь приведем подобные слагаемые:
\[
xy + x - 2y = 22
\]

Мы можем заменить значение переменной \(xy\) во втором уравнении полученным из первого уравнения значением 24:
\[
24 + x - 2y = 22
\]

Вычтем 24 из обоих сторон уравнения:
\[
x - 2y = -2
\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[
\begin{align*}
xy &= 24 \\
x - 2y &= -2
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений различными способами, например, методом замещения или методом сложения/вычитания. В данном случае, воспользуемся методом замещения.

Из первого уравнения выразим переменную \(x\) через \(y\):
\[
x = \frac{24}{y}
\]

Подставим это значение во второе уравнение:
\[
\frac{24}{y} - 2y = -2
\]

Умножим оба члена уравнения на \(y\) для избавления от знаменателя:
\[
24 - 2y^2 = -2y
\]

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:
\[
2y^2 - 2y - 24 = 0
\]

Разделим все члены уравнения на 2:
\[
y^2 - y - 12 = 0
\]

Факторизуем это квадратное уравнение:
\[
(y - 4)(y + 3) = 0
\]

Получаем два возможных значения для переменной \(y\): \(y = 4\) или \(y = -3\).

Теперь, подставим найденные значения \(y\) обратно в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения для \(x\):

При \(y = 4\):
\[
x = \frac{24}{4} = 6
\]

При \(y = -3\):
\[
x = \frac{24}{-3} = -8
\]

Итак, получаем два решения для системы уравнений:
\[
\begin{align*}
x &= 6, y = 4 \\
x &= -8, y = -3
\end{align*}
\]

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять, как найти значения переменных \(x\) и \(y\) в данной системе уравнений. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.