Каково значение cos(a+b), если cos = -1/6, sin b = √35/6 и значение угла b равно π/2?

Kote_7855

25

Хорошо, решим задачу. Дано: \(\cos = -\frac{1}{6}\), \(\sin b = \frac{\sqrt{35}}{6}\), и значение угла \(b\) равно \(\frac{\pi}{2}\). Мы хотим найти значение \(\cos(a + b)\).

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание тригонометрических формул. Одна из них - формула сложения для косинуса:

\[\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b\]

Также, мы знаем, что \(\cos = -\frac{1}{6}\). Поэтому подставим это значение в формулу и попытаемся найти \(\cos(a + b)\):

\[-\frac{1}{6} = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b\]

Теперь нам нужно найти значение \(\sin a\). Для этого воспользуемся другой тригонометрической формулой, синуса угла с суммой углов:

\[\sin(a + b) = \sin a \cdot \cos b + \cos a \cdot \sin b\]

Мы знаем, что \(\sin b = \frac{\sqrt{35}}{6}\) и \(b = \frac{\pi}{2}\). Подставим эти значения и решим уравнение:

\[\sin(a + \frac{\pi}{2}) = \sin a \cdot \cos \frac{\pi}{2} + \cos a \cdot \sin \frac{\pi}{2}\]

\[\sin(a + \frac{\pi}{2}) = \sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1\]

\[\sin(a + \frac{\pi}{2}) = \cos a\]

Таким образом, мы получили, что \(\sin(a + \frac{\pi}{2}) = \cos a\). Теперь мы можем заменить \(\cos a\) в исходном уравнении:

\[-\frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \cdot \cos b - \sin(a + \frac{\pi}{2}) \cdot \sin b\]

Поскольку значение угла \(b\) равно \(\frac{\pi}{2}\), можем сразу заменить \(\cos b\) и \(\sin b\):

\[-\frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \cdot 0 - \sin(a + \frac{\pi}{2}) \cdot \frac{\sqrt{35}}{6}\]

\[-\frac{1}{6} = -\frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \sin(a + \frac{\pi}{2})\]

Теперь мы можем избавиться от деления на \(-\frac{\sqrt{35}}{6}\), умножив обе стороны уравнения на \(-\frac{6}{\sqrt{35}}\):

\[\frac{6}{\sqrt{35}} \cdot -\frac{1}{6} = \sin(a + \frac{\pi}{2})\]

\[\frac{-6}{\sqrt{35}} = \sin(a + \frac{\pi}{2})\]

Таким образом, мы получили значение синуса для угла \(a + \frac{\pi}{2}\). Известно, что \(\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x\). Поэтому:

\[\cos(a + \frac{\pi}{2}) = \frac{-6}{\sqrt{35}}\]

Таким образом, мы можем заменить \(\cos(a + \frac{\pi}{2})\) в исходном уравнении:

\[-\frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \cdot \cos b - \frac{-6}{\sqrt{35}} \cdot \sin b\]

Заменим \(\sin b\) на значение, которое нам дано:

\[-\frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \cdot \cos b - \frac{-6}{\sqrt{35}} \cdot \frac{\sqrt{35}}{6}\]

\[-\frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \cdot \cos b + \frac{-6}{6}\]

\[-\frac{1}{6} = -\frac{1}{6} \cdot \cos b - 1\]

Теперь мы можем избавиться от деления на \(-\frac{1}{6}\), умножив обе стороны уравнения на \(-\frac{6}{1}\):

\[\frac{-6}{1} \cdot -\frac{1}{6} = \cos b - 1\]

\[1 = \cos b - 1\]

\[2 = \cos b\]

Таким образом, мы нашли значение косинуса угла \(b\), которое равно 2. А теперь мы можем найти значение \(\cos(a + b)\), подставив найденные значения в исходную формулу:

\[\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b\]

\[\cos(a + b) = -\frac{1}{6} \cdot 2 - \sin a \cdot \frac{\sqrt{35}}{6}\]

\[\cos(a + b) = -\frac{2}{6} - \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \sin a\]

\[\cos(a + b) = -\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \sin a\]

Таким образом, значение \(\cos(a + b)\) равно \(-\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot \sin a\).

Это подробное решение запишется в выводе.