Каково значение cos2B в треугольнике ABC, где ∠A+∠B=90° и sinB=2√5/10?

Zvezdnaya_Tayna

63

Чтобы найти значение cos2B في треугольнике ABC, давайте вначале найдем значение синуса угла B. В задаче уже дана информация, что sinB равно 2√5/10.

Так как синус угла B равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, мы можем представить это как отношение длин сторон треугольника ABC. Пусть сторона AC является гипотенузой, а сторона BC является противолежащим катетом.

По условию треугольника ABC, угол A + угол B = 90°. Из этого следует, что угол C = 90° - угол A.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы AC. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Будем обозначать длину стороны BC как x. Тогда длина стороны AC будет равна \(\sqrt{x^2 + (2\sqrt{5}/10)^2}\).

Также, по определению cos2B, это значение равно cos^2B - sin^2B.

Чтобы найти cosB, мы можем использовать тригонометрическую тождественность cos^2B + sin^2B = 1. Подставим значение sinB, которое нам уже известно.

Теперь у нас есть все необходимые элементы, чтобы найти значение cos2B.

Давайте проделаем все вычисления:

cosB = \(\sqrt{1 - sin^2B} = \sqrt{1 - (2\sqrt{5}/10)^2} = \sqrt{1 - 20/100} = \sqrt{1 - 1/5} = \sqrt{4/5} = 2/\sqrt{5}\)

Теперь, используя значение cosB, мы можем вычислить cos2B:

cos2B = cos^2B - sin^2B = (2/\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{5}/10)^2 = 4/5 - 20/100 = 4/5 - 1/5 = 3/5

Таким образом, значение cos2B в треугольнике ABC, где ∠A+∠B=90° и sinB=2√5/10, равно 3/5.