Каково значение дроби 19*a25/a10 в данной арифметической прогрессии, где S25/S10=25/4?

Надежда

7

Для начала, давайте разберемся с арифметической прогрессией. Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем добавления одного и того же постоянного числа к предыдущему члену. В нашем случае, это будет последовательность \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), и так далее.

Мы знаем, что отношение суммы первых 25 членов этой арифметической прогрессии (\(S_{25}\)) к сумме первых 10 членов (\(S_{10}\)) равно 25/4, то есть

\[\frac{S_{25}}{S_{10}} = \frac{25}{4}.\]

Теперь мы можем воспользоваться формулой для суммы первых n членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n),\]

где \(S_n\) - сумма первых n членов, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(a_n\) - n-й член прогрессии.

Для нашей задачи, мы можем записать:

\[\frac{S_{25}}{S_{10}} = \frac{\frac{25}{2}(a_1 + a_{25})}{\frac{10}{2}(a_1 + a_{10})} = \frac{25}{4}.\]

Мы можем сократить обе стороны дроби на \(\frac{1}{2}\):

\[\frac{25(a_1 + a_{25})}{10(a_1 + a_{10})} = \frac{25}{4}.\]

Теперь, если мы заметим, что \(a_{25} = a_1 + 24d\) и \(a_{10} = a_1 + 9d\), где d - разность прогрессии, мы можем заменить эти значения в нашем уравнении:

\[\frac{25(a_1 + a_1 + 24d)}{10(a_1 + a_1 + 9d)} = \frac{25}{4}.\]

Упростим выражение:

\[\frac{25(2a_1 + 24d)}{10(2a_1 + 9d)} = \frac{5(2a_1 + 24d)}{2(2a_1 + 9d)} = \frac{5}{4}.\]

Теперь, чтобы найти \(a_{25}\) и \(a_{10}\), нам нужно решить систему уравнений:

\[\begin{cases} 5(2a_1 + 24d) = 25(2a_1 + 9d) \\ \frac{25(a_1 + a_{25})}{10(a_1 + a_{10})} = \frac{25}{4} \end{cases}.\]

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения \(a_1\), \(a_{25}\) и \(a_{10}\). Подставив их значения в данную дробь \(19 \cdot \frac{a_{25}}{a_{10}}\), мы получим конечный ответ.