Как можно упростить выражение 2cos8acos9a–cos17a?

Радуга_На_Небе

51

Хорошо, для начала давайте вспомним некоторые формулы тригонометрии, которые будут нам полезны при решении этой задачи:

1. Удвоенный угол: \(\cos{2\alpha} = 2\cos^2{\alpha} - 1\)
2. Формула разности: \(\cos{(\alpha-\beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}\)

Теперь приступим к решению задачи:

1. Начнем с выражения \(2\cos{8a}\cos{9a} - \cos{17a}\).
2. Воспользуемся формулой разности для \(\cos{(\alpha-\beta)}\), где \(\alpha = 8a\) и \(\beta = 9a\):

\[
2\cos{(\alpha-\beta)} - \cos{17a}
\]

3. Заменим тригонометрические функции согласно формуле разности:

\[
2(\cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}) - \cos{17a}
\]

4. Подставим значения \(\alpha\) и \(\beta\):

\[
2(\cos{8a}\cos{9a} + \sin{8a}\sin{9a}) - \cos{17a}
\]

5. Упростим:

\[
2\cos{8a}\cos{9a} + 2\sin{8a}\sin{9a} - \cos{17a}
\]

6. Вспомним формулу удвоенного угла для \(\cos{2\alpha}\) и заменим \(\cos{18a}\):

\[
2(\cos{8a}\cos{9a} + \sin{8a}\sin{9a}) - (\cos{17a} + \cos{18a})
\]

7. Отметим, что \(\cos{18a} = \cos{(17a+a)} = \cos{17a}\cos{a} - \sin{17a}\sin{a}\).
Подставим это в наше выражение:

\[
2(\cos{8a}\cos{9a} + \sin{8a}\sin{9a}) - (\cos{17a} + \cos{17a}\cos{a} - \sin{17a}\sin{a})
\]

8. Просуммируем слагаемые с \(\cos{17a}\):

\[
2\cos{8a}\cos{9a} + \cos{17a}\cos{a} - (\cos{17a} + \sin{8a}\sin{9a} - \sin{17a}\sin{a})
\]

9. Факторизуем:

\[
2\cos{8a}\cos{9a} + \cos{17a}\cos{a} - \cos{17a} - \sin{8a}\sin{9a} + \sin{17a}\sin{a}
\]

10. Объединим симметричные слагаемые для удобства:

\[
(\cos{17a} - \cos{17a}) + \cos{17a}\cos{a} + (\sin{17a}\sin{a} - \sin{8a}\sin{9a})
\]

11. Поскольку \(\cos{17a} - \cos{17a} = 0\), остается:

\[
\cos{17a}\cos{a} + \sin{17a}\sin{a} - \sin{8a}\sin{9a}
\]

12. Здесь мы можем заметить, что \(\cos{17a}\cos{a} + \sin{17a}\sin{a}\) является формулой косинуса для угла \(16a\) (при использовании тригонометрической формулы косинуса для суммы углов):

\[
\cos{(17a-a)} = \cos{16a}
\]

13. В итоге:

\[
\cos{16a} - \sin{8a}\sin{9a}
\]

Таким образом, выражение \(2\cos{8a}\cos{9a} - \cos{17a}\) упрощается до \(\cos{16a} - \sin{8a}\sin{9a}\).