Каково значение функции f(x)=x3−108x+402 в точке, где достигается ее минимум (локального решить)?

Svetik

66

Чтобы найти точку, где функция \( f(x) = x^3 - 108x + 402 \) достигает локального минимума, нам понадобится взять производную этой функции и приравнять ее к нулю. Такие точки называются критическими точками.

Для начала найдем производную функции \( f(x) \). Производная функции \( f(x) \) будет равна производной каждого слагаемого по отдельности. Давайте посчитаем:

\[ f"(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(108x) + \frac{d}{dx}(402) \]

Чтобы найти производную каждого слагаемого, мы можем использовать правила дифференцирования. Производная слагаемого \( x^3 \) равна \( 3x^2 \), производная слагаемого \( 108x \) равна \( 108 \), а производная константы \( 402 \) равна 0. Теперь мы можем подставить эти значения в выражение для производной:

\[ f"(x) = 3x^2 - 108 \]

Теперь, чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

\[ 3x^2 - 108 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ 3x^2 = 108 \]
\[ x^2 = \frac{108}{3} \]
\[ x^2 = 36 \]
\[ x = \sqrt{36} \]
\[ x = \pm 6 \]

Итак, мы получили две критические точки: \( x = -6 \) и \( x = 6 \). Чтобы определить, в какой из этих точек функция имеет локальный минимум, нам необходимо проанализировать локальное поведение функции в окрестности этих точек.

Чтобы это сделать, давайте построим график функции \( f(x) \):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-10 & 1422 \\
-6 & 486 \\
0 & 402 \\
6 & -486 \\
10 & -1182 \\
\hline
\end{array}
\]

Из графика мы видим, что функция имеет локальный минимум в точке \( x = -6 \), где значение функции равно 486.

Таким образом, значение функции \( f(x) = x^3 - 108x + 402 \) в точке, где достигается ее минимум, равно 486.