Каково значение производной f(x) в точке x=1/9, если функция задана как f(x) = arccos(sqrt(3x))?

Lisa

63

Хорошо, для решения этой задачи нам понадобится использовать правило дифференцирования сложной функции, так как у нас есть функция arccos внутри функции sqrt(3x).

Давайте начнем с применения правила дифференцирования сложной функции. Если у нас есть функция g(x) = arccos(x), и функция h(x) = sqrt(3x), то наша исходная функция f(x) может быть представлена как композиция g и h: f(x) = g(h(x)).

Шаг 1: Найдем производную функции g(x). Производная arccos(x) может быть найдена с помощью правила дифференцирования такого вида функций: (arccos(x))" = -1 / sqrt(1 - x^2). Таким образом, g"(x) = -1 / sqrt(1 - (sqrt(3x))^2).

Шаг 2: Теперь найдем производную функции h(x). Производная sqrt(3x) может быть найдена с помощью правила дифференцирования такого вида функций: (sqrt(3x))" = (1/2) * (3x)^(-1/2) * 3 = 3/(2 * sqrt(3x)). Таким образом, h"(x) = 3/(2 * sqrt(3x)).

Шаг 3: Применим правило дифференцирования сложной функции. Согласно этому правилу, производная f(x) будет равна произведению производных g"(x) и h"(x), то есть f"(x) = g"(h(x)) * h"(x).

Подставим выражения из шагов 1 и 2 в формулу из шага 3:
f"(x) = (-1 / sqrt(1 - (sqrt(3x))^2)) * (3/(2 * sqrt(3x))).

Теперь найдем значение производной f(x) в точке x = 1/9, подставив эту точку в полученное выражение:
f"(1/9) = (-1 / sqrt(1 - (sqrt(3 * (1/9)))^2)) * (3/(2 * sqrt(3 * (1/9)))).

Давайте упростим это выражение. \(\sqrt{3 \cdot (1/9)} = \sqrt{1/3} = 1/\sqrt{3} = \sqrt{3} / 3\):
f"(1/9) = (-1 / sqrt(1 - (\sqrt{3} / 3)^2)) * (3/(2 * sqrt(3) / 3)).

Выразим \(\sqrt{1 - (\sqrt{3} / 3)^2}\) и \((2 * sqrt(3) / 3)\) в более удобной форме:
\(\sqrt{1 - (\sqrt{3} / 3)^2} = \sqrt{1 - 3/9} = \sqrt{1 - 1/3} = \sqrt{2/3} = \sqrt{2} / \sqrt{3} = \sqrt{6} / 3\).

Тогда подставим все полученные значения:
f"(1/9) = (-1 / (\sqrt{6} / 3)) * (3 / (2 * \sqrt{6} / 3)).

Упростим эту формулу:
f"(1/9) = -3 * 3 / (2 * \sqrt{6} / 3 * \sqrt{6} / 3) = -9 / (2 * \sqrt{6} / 3 * \sqrt{6} / 3).

Финальное упрощение:
f"(1/9) = -9 / (2 * (6 / 9)) = -9 * (9 / 2 * 6) = -3 / 4.

Таким образом, значение производной f(x) в точке x = 1/9 равно -3/4.