Каковы длина гипотенузы и меньшего катета прямоугольного треугольника, в котором один из углов равен 60 градусов

Alena

11

Давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Рисуем прямоугольный треугольник. Угол 60 градусов нарисуем в вершине треугольника, а гипотенузу укажем как горизонтальную сторону. Назовем гипотенузу \(c\) и меньший катет \(a\).

Шаг 2: Применим теорему Пифагора, которая говорит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, у нас есть уравнение:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Шаг 3: Мы знаем, что один из углов равен 60 градусов. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, то другой угол будет равен 90 градусов (так как треугольник прямоугольный), а третий угол будет равен \(180 - 60 - 90 = 30\) градусов.

Шаг 4: Теперь мы можем использовать свойства тригонометрии для расчета сторон треугольника. Рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\). Мы знаем, что \(b = a \cdot \sqrt{3}\) (так как в треугольнике с углом 60 градусов, противоположная сторона будет корнем из 3 умноженным на катет).

Шаг 5: Возвращаемся к уравнению из шага 2 и подставляем известные значения:

\[c^2 = a^2 + (a \cdot \sqrt{3})^2\]
\[c^2 = a^2 + 3a^2\]
\[c^2 = 4a^2\]

Шаг 6: Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения, чтобы найти выражение для гипотенузы:

\[c = 2a\]

Шаг 7: Также в условии задачи говорится, что сумма гипотенузы и меньшего катета составляет 12. То есть:

\[c + a = 12\]

Шаг 8: Подставляем \(2a\) вместо \(c\) в уравнение из шага 7:

\[2a + a = 12\]
\[3a = 12\]
\[a = 4\]

Шаг 9: Теперь мы можем найти значение гипотенузы, подставив \(a = 4\) в уравнение \(c = 2a\):

\[c = 2 \cdot 4 = 8\]

Итак, длина меньшего катета \(a\) равна 4, а длина гипотенузы \(c\) равна 8.