Каковы длины векторов AB и AC, заданных координатами точек A, B и C? Что такое скалярное произведение векторов AB
Каковы длины векторов AB и AC, заданных координатами точек A, B и C? Что такое скалярное произведение векторов AB и AC? Каков угол между векторами AB и AC? Координаты точек A, B и C: A(1;0;1), B(-1;5;0), C(1;5;0).
Pelikan 9
Для начала рассчитаем длину векторов AB и AC. Длина вектора вычисляется по формуле:\[\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\]
где \(\overrightarrow{AB}\) - вектор, \(x_A, y_A, z_A\) - координаты точки A, а \(x_B, y_B, z_B\) - координаты точки B.
Заменим известные значения в формулу и рассчитаем:
\[\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{((-1)-(1))^2+(5-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{(-2)^2+5^2+(-1)^2}=\sqrt{4+25+1}=\sqrt{30}\]
Таким образом, длина вектора AB составляет \(\sqrt{30}\).
Теперь рассчитаем длину вектора AC, используя ту же формулу:
\[\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2+(z_C-z_A)^2}\]
Подставим известные значения и рассчитаем:
\[\|\overrightarrow{AC}\|=\sqrt{(1-1)^2+(5-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{(0)^2+5^2+(-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\]
Таким образом, длина вектора AC равна \(\sqrt{26}\).
Далее, перейдем к скалярному произведению векторов AB и AC. Скалярное произведение определяется следующей формулой:
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}= (x_B-x_A)(x_C-x_A)+(y_B-y_A)(y_C-y_A)+(z_B-z_A)(z_C-z_A)\]
Подставим известные значения и рассчитаем:
\[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=((-1)-(1))(1-1)+(5-0)(5-0)+(0-1)(0-1)=(-2)(0)+5^2+(-1)^2=25+1=26\]
Таким образом, скалярное произведение векторов AB и AC составляет 26.
Наконец, для определения угла между векторами AB и AC можно воспользоваться следующей формулой:
\[\cos{\theta}=\frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{\|\overrightarrow{AB}\| \cdot \|\overrightarrow{AC}\|}\]
Подставим известные значения и рассчитаем:
\[\cos{\theta}=\frac{26}{\sqrt{30} \cdot \sqrt{26}}=\frac{26}{\sqrt{780}}=\frac{26}{\sqrt{4 \cdot 195}}=\frac{26}{2 \sqrt{195}}=\frac{13}{\sqrt{195}}\]
Угол между векторами AB и AC равен арккосинусу этого значения:
\[\theta=\arccos{\frac{13}{\sqrt{195}}}\]
К сожалению, точный численный ответ не представляется возможным без использования калькулятора, но мы можем оставить ответ в виде дроби.
Таким образом, длины векторов AB и AC составляют \(\sqrt{30}\) и \(\sqrt{26}\) соответственно. Скалярное произведение векторов AB и AC равно 26. Угол между векторами AB и AC равен \(\theta=\arccos{\frac{13}{\sqrt{195}}}\).