Каковы допустимые значения для переменных в следующих уравнениях?: а) 4/(x-2)+2x/(16-x^2)=x^2/(x^2+4

Ignat

59

Давайте решим эти уравнения по очереди.

а) Начнем с уравнения \(4/(x-2) + \frac{2x}{16-x^2} = \frac{x^2}{x^2+4}\).

Сначала рассмотрим ограничения на допустимые значения переменной \(x\). В знаменателях не должно быть нулей, поэтому исключим значения, при которых \(x-2 = 0\) или \(16-x^2 = 0\). Путем решения этих уравнений находим, что \(x \neq 2\) и \(x \neq \pm 4\).

Теперь пошагово решим уравнение. Умножим обе стороны уравнения на комплексное сопряжение знаменателя \((x-2)(16-x^2)\), чтобы избавиться от дробей:

\[
4(x-2)(16-x^2)+2x \cdot (x-2) = x^2 \cdot (16-x^2)
\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[
64x-8x^3-8x+32 = 16x^2-x^4
\]

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

\[
x^4-16x^2+8x^3-56x+32 = 0
\]

При этом, обратите внимание, что мы также исключили значения \(x = \pm 4\), так как в этом случае исходное уравнение не имеет смысла.

Мы получили кубическое уравнение относительно переменной \(x\). Его решение может быть достаточно сложным. Чтобы найти значения \(x\) аналитически, потребуется применить методы алгебры или численные методы.

б) Перейдем к следующему уравнению: \(\frac{2x-4}{x^2-12x+11} = \frac{1}{x^2+6x+8}\).

Аналогично предыдущему случаю, найдем ограничения на допустимые значения переменной \(x\). Обратим внимание на знаменатели: \(x^2-12x+11\) и \(x^2+6x+8\). Решим уравнения \(x^2-12x+11 = 0\) и \(x^2+6x+8 = 0\). Получим, что \(x \neq \pm 1\) и \(x \neq -2\).

Решим уравнение путем умножения обеих сторон на комплексное сопряжение знаменателя \((x^2-12x+11)(x^2+6x+8)\):

\[
(x^2+6x+8)(2x-4) = (x^2-12x+11)
\]

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[
2x^3-4x^2+12x^2-24x+16x-32= x^2-12x+11
\]

Припишем все члены кубического уравнения в левую часть:

\[
2x^3+8x^2 -20x -43 = 0
\]

Это кубическое уравнение, и решение может быть достаточно сложным. Как и в предыдущем случае, мы можем применить методы алгебры или численные методы для нахождения аналитического решения.

В обоих задачах мы нашли ограничения на допустимые значения переменной \(x\) и получили кубические уравнения. Чтобы найти аналитическое решение, можно использовать различные методы алгебры или численные методы, в зависимости от желаемой точности и сложности уравнения.