Каковы исходные размеры прямоугольника, если его площадь равна 180 квадратных сантиметров и уменьшение одной стороны

Skolzkiy_Pingvin

32

Для решения этой задачи мы можем использовать известную формулу для площади прямоугольника: \( S = a \cdot b \), где \( S \) - площадь, \( a \) - длина одной стороны, \( b \) - длина другой стороны.

Исходя из условия задачи, у нас есть два уравнения для нахождения исходных размеров прямоугольника.

Первое уравнение: \( S = a \cdot b = 180 \). Здесь мы знаем площадь прямоугольника - 180 квадратных сантиметров.

Второе уравнение: \( (a-3) \cdot (b-2) = 120 \). Здесь мы имеем прямоугольник с уменьшенными сторонами: одна сторона уменьшена на 3 см, а вторая сторона уменьшена на 2 см. Площадь этого прямоугольника равна 120 квадратных сантиметров.

Давайте решим эти уравнения последовательно.

Возьмем первое уравнение и выразим одну из сторон через другую. Пусть \( a = \frac{180}{b} \).

Подставим это значение \( a \) во второе уравнение:

\( \left(\frac{180}{b}-3\right) \cdot (b-2) = 120 \).

Теперь у нас есть одно уравнение с одной переменной. Раскроем скобки и упростим выражение:

\( \frac{180}{b} \cdot (b-2) - 3 \cdot (b-2) = 120 \).

Умножим каждую скобку на соответствующий коэффициент:

\( \frac{180}{b} \cdot b - \frac{180}{b} \cdot 2 - 3 \cdot b + 3 \cdot 2 = 120 \).

Упростим выражение:

\( 180 - \frac{360}{b} - 3b + 6 = 120 \).

Теперь объединим подобные слагаемые:

\( 186 - \frac{360}{b} - 3b = 120 \).

Перенесем все слагаемые влево:

\( \frac{360}{b} + 3b = 186 - 120 \).

Упростим правую часть:

\( \frac{360}{b} + 3b = 66 \).

Умножим обе части уравнения на \( b \):

\( 360 + 3b^2 = 66b \).

Теперь перенесем все слагаемые влево:

\( 3b^2 - 66b + 360 = 0 \).

Разделим каждый коэффициент на 3:

\( b^2 - 22b + 120 = 0 \).

Факторизуем это квадратное уравнение:

\( (b-12)(b-10) = 0 \).

Из этого уравнения мы получаем два возможных значения для \( b \): \( b_1 = 12 \) и \( b_2 = 10 \).

Теперь подставим каждое из значений \( b \) в уравнение \( a = \frac{180}{b} \), чтобы найти соответствующие значения для \( a \):

Для \( b_1 = 12 \):
\( a_1 = \frac{180}{12} = 15 \).

Для \( b_2 = 10 \):
\( a_2 = \frac{180}{10} = 18 \).

Итак, исходные размеры прямоугольника составляют 15 см на 12 см и 18 см на 10 см, в зависимости от того, какая из сторон была уменьшена на 3 см и какая - на 2 см.