Каковы координаты точки, которая лежит на оси ординат и имеет одинаковое расстояние до точек M (-1; 2) и N

Puteshestvennik_8584

23

Окей, давайте решим эту задачу шаг за шагом:

Шаг 1: Поставим задачу на графике
Поставим точки M (-1, 2) и N (5, 4) на графике координатной плоскости. Точка, о которой идет речь, будет лежать на оси ординат (y-ось).

Шаг 2: Найдем расстояние от точки M до искомой точки на оси ординат
Искомая точка будет иметь одинаковое расстояние от точек M и N. Мы можем найти расстояние между точками по формуле расстояния между двумя точками: \(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты двух точек.

Рассчитаем расстояние от точки M до искомой точки:
\[d_1 = \sqrt{{((-1) - x)^2 + (2 - y)^2}}\]

Шаг 3: Найдем расстояние от точки N до искомой точки на оси ординат
Теперь найдем расстояние от точки N до искомой точки:
\[d_2 = \sqrt{{(5 - x)^2 + (4 - y)^2}}\]

Шаг 4: Установим условие задачи
По условию задачи, расстояния d1 и d2 должны быть равны:
\[d_1 = d_2\]

Шаг 5: Решим уравнение
Подставим значения расстояний d1 и d2 в уравнение и решим его:
\[\sqrt{{((-1) - x)^2 + (2 - y)^2}} = \sqrt{{(5 - x)^2 + (4 - y)^2}}\]

Возводим обе части уравнения в квадрат для избавления от корней:
\[((-1) - x)^2 + (2 - y)^2 = (5 - x)^2 + (4 - y)^2\]

Раскрываем скобки:
\[x^2 + 1 - 2x + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 10x + 25 + y^2 - 8y + 16\]

Сокращаем одинаковые слагаемые:
\[-2x - 4y + 5 = -10x - 8y + 41\]

Приравниваем коэффициенты при x и y:
\[-2x - 4y = -10x - 8y + 36\]

Вычитаем -10x и 8y из обеих сторон:
\[8x + 4y = 36\]

Шаг 6: Найдем координаты точки
Теперь мы должны решить уравнение:
\[8x + 4y = 36\]

Для удобства, делим обе части уравнения на 4:
\[2x + y = 9\]

Теперь, чтобы найти координаты точки, можем задать значения переменной x и выразить значение y:
Пусть x = 1:
\[2\cdot1 + y = 9\]
\[y = 9 - 2\cdot1\]
\[y = 7\]

Таким образом, искомая точка будет иметь координаты (1, 7).