Каковы координаты точки, в которой функция y=x^3+17,5x^2+50x+18 достигает своего максимума?

Baron

26

Для определения координат точки, в которой функция достигает своего максимума, нам потребуются некоторые знания о производных функций.

Шаг 1: Найдем производную функции y=x^3+17,5x^2+50x+18. Для этого возьмем производную каждого члена функции по отдельности:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^3) + \frac{d}{dx}(17,5x^2) + \frac{d}{dx}(50x) + \frac{d}{dx}(18)\]

Производная от \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\), следовательно:
\[\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 35x + 50\]

Шаг 2: Найдем точку, в которой производная равна нулю. Решим уравнение \(3x^2 + 35x + 50 = 0\).
Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта для нахождения корней уравнения:
\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = 35^2 - 4 \cdot 3 \cdot 50\]
\[D = 1225 - 600\]
\[D = 625\]

Дискриминант равен 625, что больше нуля, следовательно, у уравнения есть два различных корня. Решим уравнение:
\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 - \sqrt{625}}{2 \cdot 3} = \frac{-35 - 25}{6} = -10\]
\[x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 + \sqrt{625}}{2 \cdot 3} = \frac{-35 + 25}{6} = -\frac{5}{3}\]

Шаг 3: Найдем значение функции y при каждом из найденных корней. Подставим каждый корень в исходную функцию:
\[y_1 = (-10)^3 + 17,5 \cdot (-10)^2 + 50 \cdot (-10) + 18 = -49\]
\[y_2 = \left(-\frac{5}{3}\right)^3 + 17,5 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right)^2 + 50 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) + 18 \approx 33,42\]

Шаг 4: Из полученных значений функции, мы видим, что точка \((-10, -49)\) является минимумом функции, а точка \(\left(-\frac{5}{3}, 33,42\right)\) - максимумом. Ответ: координаты точки, в которой функция достигает своего максимума, равны \(\left(-\frac{5}{3}, 33,42\right)\).