Как построить треугольник с заданными вершинами А(-1;2;3), В(3;-2;1) и С(2;1;-1)? Нужно ли этот треугольник

Pushistik

17

Для построения треугольника с заданными вершинами \(A(-1;2;3)\), \(B(3;-2;1)\) и \(C(2;1;-1)\) мы можем использовать известную формулу для нахождения длины стороны треугольника в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

где \(d\) - расстояние между двумя точками с координатами \((x_1; y_1; z_1)\) и \((x_2; y_2; z_2)\).

Теперь мы можем приступить к решению задачи.

1. Найдем длины сторон треугольника.

Сторона AB:
\[d_{AB} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6\]

Сторона BC:
\[d_{BC} = \sqrt{(2 - 3)^2 + (1 - (-2))^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}\]

Сторона AC:
\[d_{AC} = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - 2)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{9 + 1 + 16} = \sqrt{26}\]

2. Проверим, является ли треугольник равнобедренным.

Треугольник является равнобедренным, если длины двух его сторон равны. В данном случае, ни одна пара сторон не имеет одинаковую длину, поэтому треугольник не является равнобедренным.

3. Найдем длину медианы CM.

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения длины медианы CM, нам необходимо найти середину стороны AB, а затем вычислить расстояние между точкой C и серединой стороны AB.

Середина стороны AB:
\[M\left(\frac{{-1 + 3}}{2}; \frac{{2 + (-2)}}{2}; \frac{{3 + 1}}{2}\right) = M(1; 0; 2)\]

Длина медианы CM:
\[d_{CM} = \sqrt{(2 - 2)^2 + (1 - 0)^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{0 + 1 + 9} = \sqrt{10}\]

4. Найдем косинус угла треугольника.

Косинус угла треугольника можно найти с помощью формулы косинусов:

\[\cos \alpha = \frac{{b^2 + c^2 - a^2}}{{2bc}}\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - длины сторон треугольника.

Для нахождения косинуса угла треугольника в нашем случае, мы можем использовать стороны треугольника AC, AB и BC.

Угол при вершине А:
\[\cos \angle A = \frac{{d_{AC}^2 + d_{AB}^2 - d_{BC}^2}}{{2 \cdot d_{AC} \cdot d_{AB}}}\]
\[\cos \angle A = \frac{{26 + 36 - 14}}{{2 \cdot \sqrt{26} \cdot 6}}\]
\[\cos \angle A = \frac{{48}}{{12 \cdot \sqrt{26}}}\]
\[\cos \angle A = \frac{{4}}{{\sqrt{26}}}\]

Угол в радианах: \(\angle A = \arccos \left(\frac{{4}}{{\sqrt{26}}}\right)\)

Угол в градусах: \(\angle A = \frac{{180 \cdot \angle A}}{{\pi}}\)

Таким образом, мы получили длину медианы CM равной \(\sqrt{10}\) и косинус угла треугольника \(\cos \angle A = \frac{{4}}{{\sqrt{26}}}\).