Каковы оптимальные стратегии для игроков в игру на клетчатой доске размером а) 10×10; б) 11×11, где игроки делают ходы

Водопад

4

В игре на клетчатой доске, где игроки закрашивают незакрашенные клетки в любом столбце или строке, существуют определенные оптимальные стратегии и выигрышные стратегии, которые мы можем рассмотреть для каждого размера доски.

а) Для доски размером 10×10:

Классическая игра на такой доске является комбинаторной игрой. Один игрок может начать игру, закрашивая любую незакрашенную клетку по своему усмотрению.
Оптимальная стратегия для первого игрока состоит в том, чтобы он закрашивал клетки в любом столбце или строке, кроме последнего столбца или строки. Это означает, что первый игрок всегда оставляет одну незакрашенную клетку в последнем столбце или строке для второго игрока.

По определению этой игры, если доска имеет нечетное количество клеток в обоих измерениях (10×10 - четное), то первый игрок всегда выиграет, при правильной игре. При этом первый игрок может контролировать ходы и достигать победы. Таким образом, первый игрок должен играть, закрашивая любую клетку, кроме последней клетки в последнем столбце или строке, позволяя сопернику только закрашивать последнюю клетку на своих ходах.

б) Для доски размером 11x11:

В случае доски размером 11×11, ситуация немного отличается. Один игрок всегда начинает игру и закрашивает одну из незакрашенных клеток по своему усмотрению.

Оптимальная стратегия для первого игрока состоит в том, чтобы он закрашивал клетки в любом столбце или строке, кроме последнего столбца или строки. Так же, как и в случае с доской размером 10×10, первый игрок всегда оставляет одну незакрашенную клетку в последнем столбце или строке для второго игрока.

Однако, в этом случае, так как общее количество клеток в обоих измерениях (11×11 - нечетное), первый игрок не может контролировать игру так же, как в случае размера 10×10. Независимо от того, как хорошо первый игрок играет, второй игрок всегда может привести к победе для себя.

Таким образом, при правильной игре, второй игрок всегда выиграет на доске размером 11×11. Это происходит потому, что второй игрок может всегда закрашивать клетки в последнем столбце или строке, оставляя первому игроку только последнюю клетку.

Итак, в выводе, на доске размером 10×10 первый игрок всегда выиграет, при правильной игре и должен играть, закрашивая любую клетку, кроме последней клетки в последнем столбце или строке. Однако, на доске размером 11×11 второй игрок всегда выиграет, при правильной игре и может закрашивать только последнюю клетку в последнем столбце или строке.