Каковы расстояния от концов отрезка МК до прямой?

Пушик_1450

47

Для решения этой задачи, мы должны определиться с тем, как заданы точки концов отрезка МК и уравнение прямой. Предположим, что точка М(-3,2) является одним концом отрезка, а точка К(4, -1) - другим концом. Уравнение прямой можно записать в виде \(ax + by + c = 0\).

1. Определим уравнение прямой, проходящей через точки М и К:
a) Найдем коэффициент наклона (slope) прямой \(k\). Для этого применяем формулу:
\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
\[k = \frac{{(-1) - 2}}{{4 - (-3)}} = \frac{{-3}}{{7}}\]

b) Теперь найдем свободный член (intercept) прямой \(b\). Для этого выполняем следующие шаги:
- Подставляем одну из заданных точек (М или К) и найденный коэффициент наклона в уравнение прямой:
\[2 = k \cdot (-3) + b\]
\[2 = \frac{{-3}}{{7}} \cdot (-3) + b\]
\[2 = \frac{{9}}{{7}} + b\]
- Выразим b:
\[b = 2 - \frac{{9}}{{7}}\]
\[b = \frac{{5}}{{7}}\]

c) Составим окончательное уравнение прямой:
\[ax + by + c = 0\]
\[ax + \frac{{5}}{{7}}y + c = 0\]

2. Теперь, когда у нас есть уравнение прямой, построим перпендикулярные линии от концов отрезка МК к прямой. Для этого выполним шаги:
a) Найдем коэффициент наклона \(k_1\) перпендикулярной линии от точки М:
- У перпендикулярной линии коэффициенты наклона будут обратными и противоположными друг другу:
\[k_1 = -\frac{{1}}{{k}} = -\frac{{7}}{{3}}\]

b) Чтобы найти свободный член \(b_1\) перпендикулярной линии от точки М, используем формулу:
- Подставляем координаты точки М и найденный коэффициент наклона в уравнение прямой:
\[2 = k_1 \cdot (-3) + b_1\]
\[2 = -\frac{{7}}{{3}} \cdot (-3) + b_1\]
\[2 = \frac{{21}}{{3}} + b_1\]
- Выразим \(b_1\):
\[b_1 = 2 - \frac{{21}}{{3}}\]
\[b_1 = -\frac{{13}}{{3}}\]

c) Теперь можно записать окончательное уравнение перпендикулярной линии от точки М:
\[ax + \frac{{7}}{{3}}y - \frac{{13}}{{3}} = 0\]

d) Аналогично, мы можем найти уравнение перпендикулярной линии от точки К:
\[ax + \frac{{7}}{{3}}y + b_2 = 0\]
Здесь \(b_2\) будет различаться, поскольку это свободный член новой линии, проходящей через точку К.

3. После того, как у нас есть уравнения двух перпендикулярных линий, мы можем найти точки пересечения этих линий с исходной прямой. Для этого решим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
ax + \frac{{5}}{{7}}y + c = 0\\
ax + \frac{{7}}{{3}}y - \frac{{13}}{{3}} = 0
\end{cases}
\]

Решение этой системы уравнений даст координаты точек пересечения.

4. Наконец, мы можем вычислить расстояния между концами отрезка МК и исходной прямой, используя найденные точки пересечения и формулу расстояния между точкой и прямой:
\[d = \frac{{|Ax_0 + By_0 + C|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2}}}}\]
где \((x_0, y_0)\) - координаты точки пересечения, \(Ax + By + C = 0\) - уравнение прямой.

Подставим координаты каждой точки пересечения в эту формулу и найдем расстояния.

Это подробное решение позволит школьнику лучше понять, как найти расстояние от концов отрезка МК до прямой и почему эти шаги необходимы.