Каковы высота и площадь боковой поверхности пирамиды, учитывая, что пирамида имеет ромбовидное основание со стороной

Serdce_Okeana

51

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства ромбов и тригонометрию. Давайте рассмотрим ее пошагово.

Шаг 1: Найдем высоту ромба.
Высота ромба – это отрезок, проведенный от одной вершины до противоположной через центр ромба.

Поскольку у нас задан ромб с основанием длиной 60 см и острым углом 30°, то получаем, что высота ромба равна:
\[h = \frac{{60 \cdot \sin 30°}}{2}\]
Высота ромба равна \(30 \cdot \sin 30°\) см. Рассчитаем это значение.
\[h = 30 \cdot 0,5 = 15\) см.

У нас есть значение высоты ромба - 15 см.

Шаг 2: Найдем высоту пирамиды.
Высота пирамиды – это отрезок, проведенный от вершины пирамиды до середины ребра одной из ее боковых граней.

Мы знаем, что двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Таким образом, у нас образуется треугольник, в котором мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенс.

Используем формулу тангенса для вычисления высоты пирамиды:
\[h_{пирамиды} = h \cdot \tan 60°\]
Подставим значения в формулу и рассчитаем высоту пирамиды:
\[h_{пирамиды} = 15 \cdot \tan 60°\]
\[h_{пирамиды} = 15 \cdot \sqrt{3}\) см.

Таким образом, высота пирамиды составляет \(15 \cdot \sqrt{3}\) см.

Шаг 3: Найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
Боковая поверхность пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней.

Учтем, что боковые грани пирамиды представляют собой четыре равнобедренных треугольника, в которых основание равно стороне ромба, а боковые стороны равны друг другу.

Сторона ромба равна 60 см, значит, стороны треугольников равны 60 см. Чтобы найти площадь одного треугольника, нам понадобится высота пирамиды.

Используем формулу площади треугольника:
\[S_{треугольника} = \frac{{a \cdot h_{пирамиды}}{2}\]
Подставим значения и рассчитаем площадь одного треугольника:
\[S_{треугольника} = \frac{{60 \cdot 15 \cdot \sqrt{3}}}{2}\]
\[S_{треугольника} = 450 \cdot \sqrt{3}\) см².

Так как у нас четыре таких треугольника, чтобы получить площадь боковой поверхности пирамиды, нужно умножить площадь одного треугольника на 4:
\[S_{боковой поверхности} = 4 \cdot S_{треугольника}\]
\[S_{боковой поверхности} = 4 \cdot 450 \cdot \sqrt{3}\)

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды составляет \(1800 \cdot \sqrt{3}\) см².