Каковы значения математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения для данной дискретной

Fedor

34

Для решения данной задачи мы можем использовать формулы математического ожидания \(\mu\), дисперсии \(\sigma^2\) и среднего квадратического отклонения \(\sigma\), где каждый элемент \(x_i\) умножается на его вероятность \(p_i\), а затем все значения суммируются.

Математическое ожидание:

Математическое ожидание представляет собой среднее значение случайной величины и рассчитывается по формуле:
\[
\mu = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i
\]

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[
\mu = 12 \cdot 0,2 + 16 \cdot 0,1 + 21 \cdot 0,4 + 26 \cdot 0,1 + 30 \cdot 0,1
\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[
\mu = 2,4 + 1,6 + 8,4 + 2,6 + 3 = 18
\]

Таким образом, значение математического ожидания для данной дискретной случайной величины равно 18.

Дисперсия:

Дисперсия показывает, насколько случайная величина отклоняется от своего среднего значения и рассчитывается по формуле:
\[
\sigma^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i
\]

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[
\sigma^2 = (12 - 18)^2 \cdot 0,2 + (16 - 18)^2 \cdot 0,1 + (21 - 18)^2 \cdot 0,4 + (26 - 18)^2 \cdot 0,1 + (30 - 18)^2 \cdot 0,1
\]

Выполняя вычисления, получаем:
\[
\sigma^2 = (-6)^2 \cdot 0,2 + (-2)^2 \cdot 0,1 + (3)^2 \cdot 0,4 + (8)^2 \cdot 0,1 + (12)^2 \cdot 0,1
\]
\[
\sigma^2 = 36 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,1 + 9 \cdot 0,4 + 64 \cdot 0,1 + 144 \cdot 0,1
\]
\[
\sigma^2 = 7,2 + 0,4 + 3,6 + 6,4 + 14,4 = 32
\]

Таким образом, значение дисперсии для данной дискретной случайной величины равно 32.

Среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение является квадратным корнем из дисперсии и рассчитывается по формуле:
\[
\sigma = \sqrt{\sigma^2}
\]

Подставляя значение дисперсии в формулу, получаем:
\[
\sigma = \sqrt{32} \approx 5,66
\]

Таким образом, значение среднего квадратического отклонения для данной дискретной случайной величины приближенно равно 5,66.

В итоге, для заданной дискретной случайной величины закон распределения имеет значения: математическое ожидание - 18, дисперсия - 32 и среднее квадратическое отклонение - 5,66.