Какой должен быть коэффициент трения μ между лестницей и полом, чтобы лестница, массой m и длиной l, прислоненная

Pushok

14

Для решения этой задачи воспользуемся условием равновесия лестницы. Чтобы лестница оставалась в равновесии, сумма всех сил, действующих на нее, должна быть равна нулю.

Для начала определим силы, действующие на лестницу. На лестницу действует сила тяжести \(F_{тяж} = m \cdot g\), где \(m\) - масса лестницы, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Также на лестницу действует горизонтальная сила трения \(F_{тр}\) между лестницей и полом. Значение этой силы зависит от коэффициента трения \(\mu\) между лестницей и полом, а также от вертикальной составляющей силы тяжести. Данная сила можно выразить как \(F_{тр} = \mu \cdot F_{норм}\), где \(F_{норм}\) - это нормальная реакция пола на лестницу.

Нормальная реакция пола на лестницу можно определить как проекцию силы тяжести на нормаль к полу. Эта проекция равна \(F_{норм} = F_{тяж} \cdot \cos \alpha\).

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для составления уравнения равновесия лестницы по горизонтали. По условию равновесия, сумма всех сил по горизонтали должна быть равна нулю:

\[F_{тр} - F_{норм} \cdot \sin \alpha = 0\]

Подставим значения сил:

\[\mu \cdot F_{норм} - F_{норм} \cdot \sin \alpha = 0\]

\[F_{норм} \cdot (\mu - \sin \alpha) = 0\]

Так как нормальная реакция пола на лестницу не может быть нулевой (иначе лестница провалилась бы сквозь пол), то получаем:

\[\mu = \sin \alpha\]

Таким образом, коэффициент трения \(\mu\) между лестницей и полом должен быть равен синусу угла наклона \(\alpha\) лестницы к горизонту.