Какой должен быть радиус шарика-посредника, чтобы максимизировать заряд, полученный вторым (незаряженным) шаром

Sergeevna

4

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать закон Кулона, который гласит, что взаимодействие между двумя заряженными частицами прямо пропорционально произведению их зарядов и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними.

Пусть первый шар (шар А) имеет радиус 9 см и заряд \(q_A\), а второй шар (шар В) имеет радиус \(r\) и заряд \(q_B\). Мы хотим найти такое значение радиуса \(r\), при котором заряд, полученный шаром В, максимален.

При соединении шаров проводником, заряд распределяется между ними пропорционально радиусам шаров и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Таким образом, заряд шара В может быть выражен как:

\[q_B = \frac{q_A \cdot r^2}{(9 + r)^2}\]

Наша задача состоит в максимизации значения \(q_B\). Для этого мы можем использовать производную.

Для начала, возьмем производную \(q_B\) по переменной \(r\):

\[\frac{{dq_B}}{{dr}} = \frac{{2q_A \cdot r}}{{(9 + r)^2}} - \frac{{2q_A \cdot r^2}}{{(9 + r)^3}}\]

Далее, найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[\frac{{2q_A \cdot r}}{{(9 + r)^2}} - \frac{{2q_A \cdot r^2}}{{(9 + r)^3}} = 0\]

Для удобства решения уравнения, можем сократить числитель обоих дробей на \(2q_A\):

\[\frac{{r}}{{(9 + r)^2}} - \frac{{r^2}}{{(9 + r)^3}} = 0\]

Теперь, умножим обе части уравнения на \((9 + r)^3\) для упрощения:

\[r(9 + r) - r^2 = 0\]

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\[9r + r^2 - r^2 = 0\]

\[9r = 0\]

Таким образом, получается, что единственная критическая точка равна \(r = 0\).

Однако, в нашей задаче шар В не может иметь нулевой радиус, поэтому мы должны исследовать значения \(q_B\) в окрестности \(r = 0\) и на границе допустимых значений.

При \(r = 0\), заряд шара В будет равен нулю, что является минимальным значением. Таким образом, можем отбросить это значение.

Теперь рассмотрим границы допустимых значений. Мы знаем, что радиус шара В не может быть отрицательным и не может быть равным радиусу шара А (9 см), так как они соединены проводником через шар-посредник. Поэтому, границы будут следующими: \(r > 0\) и \(r \neq 9\).

Теперь проведем анализ значений \(q_B\) на границах:

Для \(r \to 0\): \[q_B \to 0\]

Для \(r \to 9\): \[q_B \to \frac{{q_A \cdot 9^2}}{{(9+9)^2}} = \frac{{q_A \cdot 81}}{{36^2}} = \frac{{q_A}}{{16}}\]

Таким образом, максимальное значение \(q_B\) будет достигаться, когда \(r \to 9\) (или очень близко к 9).

Ответ: Чтобы максимизировать заряд, полученный вторым шаром, необходимо, чтобы радиус шара-посредника \(r\) был как можно ближе к радиусу первого шара (9 см), но не равен ему. Ответом будет округленное значение радиуса, например, 8 см, чтобы обеспечить максимально возможный заряд.