Какой должна быть наименьшая наклонная угол f плоскости ВС, чтобы система оставалась в равновесии, при условии

Шустр

2

Чтобы рассчитать наименьшую наклонную угол \( f \) плоскости ВС, при которой система останется в равновесии, нам потребуется использовать некоторые принципы равновесия.

1. В данной системе имеется три цилиндра, опирающихся на две взаимно перпендикулярные плоскости АВ. Пусть масса каждого цилиндра будет \( m \), а сила трения между цилиндрами и плоскостями равна \( f_t \).

2. Чтобы система находилась в равновесии, сумма горизонтальных и вертикальных сил, действующих на цилиндры, должна быть равна нулю.

3. Рассмотрим горизонтальные силы. Сумма горизонтальных сил трения, действующих на цилиндры, должна быть равна нулю, так как цилиндры находятся в состоянии покоя. Так как трение не зависит от наклонного угла плоскости, можем записать:

\[3f_t \cdot \cos(f) = 0\]

где \( \cos(f) \) - значение косинуса наклонного угла \( f \).

4. Рассмотрим вертикальные силы. Сумма вертикальных сил должна быть равна нулю, так как цилиндры не двигаются в вертикальном направлении. Сумма вертикальных сил состоит из силы тяжести и сил реакции опоры. Сила тяжести для каждого цилиндра равна \( mg \), где \( g \) - ускорение свободного падения.

5. Силы реакции опоры могут быть разложены на компоненты вдоль и перпендикулярно поверхности плоскости ВС. Перпендикулярная компонента должна быть равна силе тяжести каждого цилиндра, чтобы уравновесить его. Горизонтальная компонента должна быть равна нулю, так как цилиндры не двигаются в горизонтальном направлении.

6. Изменение в величине реакций опоры обусловлено наклоном плоскости. Компоненты реакции опоры можно выразить следующим образом:

\[R_v = 3mg \cdot \cos(f)\]
\[R_h = -3mg \cdot \sin(f)\]

где \( R_v \) - перпендикулярная компонента реакции опоры, \( R_h \) - горизонтальная компонента реакции опоры.

7. Объединяя все вместе, можем записать уравнение равновесия для вертикальных сил:

\[3mg \cdot \cos(f) + 3mg \cdot \sin(f) = 0\]

8. Решая данное уравнение, получаем:

\[3mg \cdot \cos(f) + 3mg \cdot \sin(f) = 0\]
\[\cos(f) + \sin(f) = 0\]

Чтобы найти значение угла \( f \), применим тригонометрическое свойство: \( \tan(f) = -1 \).

9. Находим \( f \) с помощью обратной функции тангенса:

\[ f = \arctan(-1) \]

Таким образом, наименьшая наклонная угол \( f \) плоскости ВС, при которой система останется в равновесии, равна \( f = -45^\circ \).