Какой должна быть разность членов арифметической прогрессии, чтобы минимизировать произведение третьего и пятого

Skvoz_Tmu

48

Давайте начнем с того, чтобы выразить члены арифметической прогрессии. Обозначим первый член как \(a\), а разность между членами — как \(d\). Тогда второй член будет равен \(a+d\), третий член — \(a+2d\), четвертый член — \(a+3d\), а пятый член — \(a+4d\).

Условие говорит, что второй член утраивается, поэтому выражение для второго члена будет \(3(a+d)\). Также говорится, что к результату прибавляется четвертый член, поэтому мы можем записать уравнение:

\[(3(a+d) + (a+3d)) \cdot (a+4d)\]

Теперь мы должны разобраться с фразой "минимизировать произведение третьего и пятого членов". Это означает, что нам нужно найти такую разность \(d\), при которой произведение \((a+2d) \cdot (a+4d)\) будет минимальным.

Давайте раскроем скобки и упростим уравнение:

\[(3a + 3d + a + 3d) \cdot (a+4d)\]
\[(4a + 6d) \cdot (a+4d)\]
\(4a^2 + 22ad + 24d^2\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Мы хотим минимизировать его значение, а значит нам нужно найти его вершину. Формула для нахождения координат вершины квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c\) выглядит следующим образом:

\[x = -\frac{b}{2a}\]

Применяя эту формулу к нашему уравнению, мы найдем координату \(d\), которая минимизирует произведение третьего и пятого членов.