Какой интервал значений переменной x увеличивает функцию y=sin2x-x (xЭ[0;п])?

Letuchiy_Piranya

35

Чтобы найти интервал значений переменной x, при которых функция y=sin^2x - x увеличивается, нам необходимо проанализировать ее производную. Увеличение функции будет соответствовать положительному значению производной.

Давайте проделаем несколько шагов, чтобы решить эту задачу:

1. Найдем производную функции y=sin^2x - x по переменной x. Для этого применим правило дифференцирования для функции y=sin^2x и учитывая производную по переменной x (константа), получим:

\[y" = 2\sin x \cos x - 1\]

2. Теперь проанализируем знак производной y". Для этого посмотрим, когда y" будет положительным. Положительный знак означает, что функция y возрастает.

Так как в функции есть умножение \(\sin x \cos x\), то знак производной y" будет зависеть от знаков синуса и косинуса. Вспомним, что значение синуса положительно в 1-ом и 2-ом квадрантах, а значение косинуса положительно в 1-ом и 4-ом квадрантах.

Исходя из этого, нашей задачей будет найти интервалы x, где выполнено условие:

\[2\sin x \cos x - 1 > 0\]

3. Для решения неравенства рассмотрим случаи, когда sin x = 0, cos x = 0 и sin x * cos x = 1/2.

а) Когда sin x = 0, решением будет x = kπ, где k - целое число.

б) Когда cos x = 0, решением будет x = (2k+1)π/2, где k - целое число.

в) Когда sin x * cos x = 1/2, решением будет x = π/4 + 2kπ или x = 3π/4 + 2kπ, где k - целое число.

4. Таким образом, наше искомое решение будет представлено объединением всех найденных интервалов x:

\[x \in [kπ, (2k+1)π/2] \cup [π/4 + 2kπ, 3π/4 + 2kπ]\]

где k - целое число, и x находится в интервале [0, п].

Это и есть интервал значений переменной x, при которых функция y=sin^2x - x увеличивается.