Какой из корней уравнения X^ 4 − 5 x^ 2 − 3 6 = 0 является наибольшим?

Solnechnyy_Den

22

Для решения данной задачи, нам необходимо найти корни уравнения \(X^4 - 5X^2 - 36 = 0\) и определить, из этих корней, который является наибольшим.

Для начала, давайте раскроем скобки и перепишем уравнение в следующем виде:

\[X^4 - 5X^2 - 36 = 0\]

Итак, у нас есть квадратное уравнение, где переменная \(X\) возведена в степень 4. Чтобы решить это уравнение, давайте заменим \(X^2 = Y\). Подставим эту замену в исходное уравнение:

\[Y^2 - 5Y - 36 = 0\]

Теперь у нас простое квадратное уравнение. Чтобы найти его корни, мы можем использовать формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = -5\) и \(c = -36\).

Вычислим дискриминант:

\[D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169\]

Поскольку дискриминант положительный (\(D > 0\)), у нас есть два различных корня для уравнения \(Y^2 - 5Y - 36 = 0\).

Далее, применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[Y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:

\[Y = \frac{-(-5) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 13}{2} = \frac{5 + 13}{2} \quad \text{или} \quad \frac{5 - 13}{2}\]

Вычисляем значения:

\[Y_1 = \frac{18}{2} = 9\] и \[Y_2 = \frac{-8}{2} = -4\]

Итак, мы получили два значения для \(Y\): 9 и -4.

Теперь вернемся к замене переменных и найдем значения для \(X\):

Для \(Y_1 = 9\):

\[X^2 = Y_1 \Rightarrow X^2 = 9 \Rightarrow X = \sqrt{9} \quad \text{или} \quad X = -\sqrt{9}\]

Итак, для \(Y_1 = 9\) мы получаем два значения для \(X\): 3 и -3.

Для \(Y_2 = -4\):

\[X^2 = Y_2 \Rightarrow X^2 = -4\]

Так как вещественные числа не имеют корня, полученное значение не имеет смысла для нашей задачи.

Итак, корнями уравнения \(X^4 - 5X^2 - 36 = 0\) являются \(X = 3\) и \(X = -3\).

Следовательно, наибольшим корнем данного уравнения является \(X = 3\).