а) Чему равна производная в точке х0, если у=1-6^3√х, х0=8? б) Напишите уравнение касательной к графику функции

Ледяная_Сказка

41

а) Чтобы найти производную функции в точке \(x_0\), нам нужно сначала найти производную функции по \(x\) и подставить \(x = x_0\). Давайте найдем производную функции \(у = 1 - 6\sqrt[3]{x}\).

Находим производную функции \(у\) по \(x\):
\[
\frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{6}{3\sqrt[3]{x^2}} = -\frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}
\]
Теперь подставим \(x = 8\) в выражение для производной:
\[
\frac{{dy}}{{dx}}\Bigg|_{x=8} = -\frac{2}{\sqrt[3]{8^2}} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}
\]
Итак, производная функции в точке \(х_0 = 8\) равна \(-\frac{1}{2}\).

б) Чтобы найти уравнение касательной к графику функции \(f(x) = 4x - \cos{x} + 1\) в точке \(х_0 = 0\), нам нужно найти производную функции и подставить \(x = x_0\).

Находим производную функции \(f(x)\):
\[
\frac{{df}}{{dx}} = 4 + \sin{x}
\]
Теперь подставим \(x = 0\) в выражение для производной:
\[
\frac{{df}}{{dx}}\Bigg|_{x=0} = 4 + \sin{0} = 4
\]
Таким образом, значение производной в точке \((0, f(0))\) равно 4.

Уравнение касательной имеет вид:
\[
y - f(0) = f"(0)(x - 0)
\]
\[
y - 1 = 4x
\]
\[
y = 4x + 1
\]
Итак, уравнение касательной к графику функции \(f(x) = 4x - \cos{x} + 1\) в точке \(х_0 = 0\) равно \(y = 4x + 1\).

в) Чтобы найти значения \(x\), приводящие к отрицательным значениям производной функции \(f(x) = \frac{{1 - x}}{{x^2 + 8}}\), мы должны найти значения \(x\), для которых \(f"(x) < 0\).

Находим производную функции \(f(x)\):
\[
f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{{1 - x}}{{x^2 + 8}}\right) = \frac{{(x^2 + 8) - (1 - x)(2x)}}{{(x^2 + 8)^2}}
\]
\[
f"(x) = \frac{{x^2 + 16x + 7}}{{(x^2 + 8)^2}}
\]
Чтобы найти значения \(x\), при которых \(f"(x) < 0\), мы должны решить неравенство \(f"(x) < 0\).

\[
\frac{{x^2 + 16x + 7}}{{(x^2 + 8)^2}} < 0
\]

Если проанализировать знаки выражения \((x^2 + 16x + 7)\) и \((x^2 + 8)^2\), можно прийти к выводу, что значения \(x\), приводящие к отрицательным значениям производной, лежат в интервалах \((-8, -7)\) и \((-1, 0)\).

Итак, значения \(x\), приводящие к отрицательным значениям производной функции \(f(x) = \frac{{1 - x}}{{x^2 + 8}}\), находятся в интервалах \((-8, -7)\) и \((-1, 0)\).

г) Чтобы найти точки на графике функции \(f(x) = x^3 - 3x^2\), где касательная параллельна оси абсцисс, мы должны найти значения \(x\), при которых производная функции равна нулю.

Находим производную функции \(f(x)\):
\[
f"(x) = \frac{{d}}{{dx}}(x^3 - 3x^2) = 3x^2 - 6x
\]
Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:
\[
3x^2 - 6x = 0
\]
\[
3x(x-2) = 0
\]
Таким образом, получаем два значения \(x\): \(x = 0\) и \(x = 2\).

Подставляя эти значения \(x\) в исходную функцию \(f(x)\), получаем соответствующие значения \(y\):
Для \(x = 0\):
\[f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0\]
Таким образом, точка \((0, 0)\) лежит на графике функции.

Для \(x = 2\):
\[f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4\]
Таким образом, точка \((2, -4)\) лежит на графике функции.

Итак, точки на графике функции \(f(x) = x^3 - 3x^2\), где касательная параллельна оси абсцисс, это \((0, 0)\) и \((2, -4)\).