Какой коэффициент при x^4 получается после раскрытия скобок в выражении (2x^2+2x+1)^5?

Дмитрий

27

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом. Для начала, раскроем скобки в выражении \((2x^2+2x+1)^5\), используя бином Ньютона.

Бином Ньютона гласит, что для раскрытия выражения \((a+b)^n\) мы можем использовать следующую формулу:

\((a+b)^n = C(n,0) \cdot a^n \cdot b^0 + C(n,1) \cdot a^{n-1} \cdot b^1 + C(n,2) \cdot a^{n-2} \cdot b^2 + \ldots + C(n,n-1) \cdot a^1 \cdot b^{n-1} + C(n,n) \cdot a^0 \cdot b^n\)

где \(C(n,k)\) обозначает число сочетаний из \(n\) элементов по \(k\) элементов.

Для данной задачи, у нас есть \((2x^2+2x+1)^5\), поэтому \(a = 2x^2+2x+1\), \(b = 0\) (так как нет \(b\) в исходном выражении) и \(n = 5\).

Теперь давайте применим формулу:

\((2x^2+2x+1)^5 = C(5,0) \cdot (2x^2+2x+1)^5 \cdot 0^0 + C(5,1) \cdot (2x^2+2x+1)^4 \cdot 0^1 + C(5,2) \cdot (2x^2+2x+1)^3 \cdot 0^2 + C(5,3) \cdot (2x^2+2x+1)^2 \cdot 0^3 + C(5,4) \cdot (2x^2+2x+1)^1 \cdot 0^4 + C(5,5) \cdot (2x^2+2x+1)^0 \cdot 0^5\)

Однако, поскольку любое число, возведенное в степень 0, равно 1, и любое число, умноженное на 0, равно 0, некоторые элементы будут равняться нулю.

Теперь продолжим упрощение:

\((2x^2+2x+1)^5 = C(5,0) \cdot 1 \cdot 0 + C(5,1) \cdot (2x^2+2x+1)^4 \cdot 0 + C(5,2) \cdot (2x^2+2x+1)^3 \cdot 0 + C(5,3) \cdot (2x^2+2x+1)^2 \cdot 0 + C(5,4) \cdot (2x^2+2x+1)^1 \cdot 0^4 + C(5,5) \cdot (2x^2+2x+1)^0 \cdot 0^5\)

Теперь заметим, что умножение на 0 обнуляет все элементы, поэтому все, что остается, это последний элемент:

\((2x^2+2x+1)^5 = C(5,5) \cdot (2x^2+2x+1)^0 \cdot 0^5\)

Из формулы для вычисления чисел сочетаний \(C(n,k) = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\) мы знаем, что \(C(5,5) = \frac{5!}{(5-5)! \cdot 5!} = \frac{5!}{0! \cdot 5!} = 1\). Также, любое число, возведенное в степень 0, равно 1, что значит, что \((2x^2+2x+1)^0 = 1\).

Таким образом, мы получаем:

\((2x^2+2x+1)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0^5 = 0\)

Следовательно, коэффициент при \(x^4\) в полученном выражении равен 0.