Какой корень имеет уравнение 2^log4(9x+9)=6?

Rodion

43

Давайте посмотрим на уравнение и попробуем решить его.

У вас есть уравнение \(2^{\log_4(9x+9)} = 6\). Чтобы решить это уравнение, нам потребуется использовать свойства логарифмов и экспонент.

1. Сначала применим логарифм по основанию 4 к обеим сторонам уравнения. Таким образом, получим:
\[\log_4(2^{\log_4(9x+9)}) = \log_4(6)\].

2. Затем используем свойство логарифма:
\(\log_a(b^c) = c \cdot \log_a(b)\). Применим это свойство к левой стороне уравнения:
\(\log_4(9x+9) \cdot \log_4(2) = \log_4(6)\).

3. Подставим значения логарифмов в уравнение:
\(\frac{\log(9x+9)}{\log(4)} \cdot \frac{\log(2)}{\log(4)} = \frac{\log(6)}{\log(4)}\).

4. Упростим выражение:
\(\log(9x+9) \cdot \frac{\log(2)}{\log(4)} = \frac{\log(6)}{\log(4)}\).

5. Теперь используем свойство логарифма, что \(\log_a(b) = \frac{\log_c(b)}{\log_c(a)}\), чтобы избавиться от базы логарифма:
\(\log(9x+9) \cdot \frac{\log(2)}{\log(4)} = \frac{\log(6)}{\log(4)}\).

6. Заметим, что \(\log(4) = 2\) и \(\log(2) = 1\):
\(\log(9x+9) \cdot \frac{1}{2} = \frac{\log(6)}{2}\).

7. Теперь умножим обе стороны на 2:
\(\log(9x+9) = \log(6)\).

8. Так как логарифмы равны, то и аргументы должны быть равны:
\(9x+9 = 6\).

9. Вычтем 9 из обеих сторон уравнения:
\(9x = 6 - 9\).

10. Вычислим:
\(9x = -3\).

11. Разделим обе стороны на 9, чтобы найти x:
\(x = \frac{-3}{9}\).

12. Упростим дробь:
\(x = -\frac{1}{3}\).

Таким образом, корень уравнения \(2^{\log_4(9x+9)} = 6\) равен \(x = -\frac{1}{3}\).