Какой косинус имеет наименьший угол треугольника, если известны координаты его вершин: C(-2:8), P(6:2) и M(2:-6)?

Буся

15

Чтобы найти наименьший угол треугольника, нам нужно рассчитать все углы треугольника на основе его координат. Давайте начнем с рассчета длин сторон треугольника.

Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]

Где \(d\) - расстояние между точками, \(x_1\) и \(y_1\) - координаты первой точки, а \(x_2\) и \(y_2\) - координаты второй точки.

Теперь посчитаем длину каждой стороны треугольника:

Сторона CP:
\[d_{CP} = \sqrt{{(6 - (-2))^2 + (2 - 8)^2}}\]
\[d_{CP} = \sqrt{{8^2 + (-6)^2}}\]
\[d_{CP} = \sqrt{{64 + 36}}\]
\[d_{CP} = \sqrt{{100}}\]
\[d_{CP} = 10\]

Сторона CM:
\[d_{CM} = \sqrt{{(2 - (-2))^2 + (-6 - 8)^2}}\]
\[d_{CM} = \sqrt{{4^2 + (-14)^2}}\]
\[d_{CM} = \sqrt{{16 + 196}}\]
\[d_{CM} = \sqrt{{212}}\]

Сторона MP:
\[d_{MP} = \sqrt{{(2 - 6)^2 + (-6 - 2)^2}}\]
\[d_{MP} = \sqrt{{(-4)^2 + (-8)^2}}\]
\[d_{MP} = \sqrt{{16 + 64}}\]
\[d_{MP} = \sqrt{{80}}\]

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника. Для расчета углов мы можем использовать теорему косинусов:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}\]

Где \(c\) - длина стороны, \(a\) и \(b\) - длины других двух сторон, \(C\) - угол, противолежащий стороне \(c\).

Начнем с расчета угла CPM (угол при вершине C):

\[\cos{CPM} = \frac{{d_{CP}^2 + d_{CM}^2 - d_{MP}^2}}{{2 \cdot d_{CP} \cdot d_{CM}}}\]
\[\cos{CPM} = \frac{{10^2 + \sqrt{{212}}^2 - \sqrt{{80}}^2}}{{2 \cdot 10 \cdot \sqrt{{212}}}}\]
\[\cos{CPM} = \frac{{100 + 212 - 80}}{{2 \cdot 10 \cdot \sqrt{{212}}}}\]
\[\cos{CPM} = \frac{{232}}{{20 \cdot \sqrt{{212}}}}\]

Таким образом, косинус угла CPM равен \( \frac{{232}}{{20 \cdot \sqrt{{212}}}}\).

Далее, рассчитаем угол CPM, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):

\[\angle CPM = \arccos{\left( \frac{{232}}{{20 \cdot \sqrt{{212}}}} \right)}\]

После вычисления этого арккосинуса с помощью калькулятора, мы получим значение угла CPM. Это будет значение наименьшего угла треугольника.

Однако, давайте заметим, что угол, образованный между сторонами CM и CP является тупым углом. Поэтому, чтобы найти наименьший угол, нам нужно вычесть найденное значение угла CPM из 180 градусов:

\[\angle C = 180^\circ - \angle CPM\]

Таким образом, мы получим значение наименьшего угла треугольника.

Надеюсь, это объяснение будет полезным и понятным для школьника. Если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!