Какой наименьший положительный период у функции f(x) = ctg(п/4+5х)?

Карамель

23

Для начала, давайте разберемся, что такое функция \(f(x) = \cot\left(\frac{\pi}{4}+5x\right)\). Функция \(\cot\) представляет собой котангенс, который является функцией, обратной к тангенсу. Кроме того, у нас есть параметр \(x\) внутри функции.

Чтобы найти период функции \(f(x)\), нам нужно найти значение \(p\), для которого функция \(f(x)\) имеет одинаковые значения при \(x\) и \(x + p\). Иными словами, мы ищем наименьшую положительную величину \(p\), для которой функция возвращает те же самые значения, когда ее аргумент увеличивается на \(p\).

Давайте рассмотрим аргумент внутри функции \(\cot\left(\frac{\pi}{4}+5x\right)\), который равен \(\frac{\pi}{4}+5x\). Мы хотим найти такое значение \(p\), чтобы \(\frac{\pi}{4}+5x\) и \(\frac{\pi}{4}+5(x+p)\) были равными.

Обратите внимание, что у нас есть константа \(\frac{\pi}{4}\), которая не меняется с изменением \(x\). Поэтому, чтобы \(\frac{\pi}{4}+5x\) и \(\frac{\pi}{4}+5(x+p)\) были равными, значение \(x\) должно увеличиться на \(p\) раз, чтобы компенсировать изменение константы. В данном случае мы хотим найти такое значение \(p\), при котором \(5p\) равно \(\frac{\pi}{4}\).

Решая уравнение \(5p = \frac{\pi}{4}\), мы можем найти значение \(p\). Давайте это сделаем:

\[
\begin{align*}
5p &= \frac{\pi}{4} \\
p &= \frac{\pi}{4 \cdot 5} \\
p &= \frac{\pi}{20}
\end{align*}
\]

Таким образом, наименьший положительный период функции \(f(x) = \cot\left(\frac{\pi}{4}+5x\right)\) равен \(\frac{\pi}{20}\).

Надеюсь, это помогло вам понять, как найти период функции. Если у вас возникнут другие вопросы, не стесняйтесь задавать!