Какой номер соответствует числу 27 в геометрической прогрессии 1/81; 1/27; 1/9?

Sladkaya_Babushka

31

Для решения данной задачи необходимо найти номер члена геометрической прогрессии, который соответствует числу 27.

Данная геометрическая прогрессия имеет первый член \(a_1 = \frac{1}{81}\) и знаменатель прогрессии \(q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{\frac{1}{27}}{\frac{1}{81}} = \frac{81}{27} = 3\).

Формула общего члена геометрической прогрессии имеет вид:
\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]

Задача состоит в нахождении номера \(n\), который соответствует числу 27. Заменим в формуле общего члена геометрической прогрессии \(a_n\) на 27 и решим уравнение относительно \(n\):

\[27 = \frac{1}{81} \cdot 3^{(n-1)}\]

Для удобства записи данного уравнения, заменим число 3 на основание прогрессии \(q\):

\[27 = \frac{1}{81} \cdot q^{(n-1)}\]

Теперь у нас есть уравнение:

\[27 = \frac{1}{81} \cdot 3^{(n-1)}\]

Домножим обе части уравнения на 81:

\[27 \cdot 81 = 1 \cdot 3^{(n-1)}\]

\[2187 = 3^{(n-1)}\]

Теперь найдем логарифм от обеих частей уравнения по основанию 3:

\[\log_3 2187 = \log_3 3^{(n-1)}\]

\[7 = n-1\]

\[n = 8\]

Таким образом, номер члена геометрической прогрессии, который соответствует числу 27, равен 8.