Найдите значения cos a и tg a, если sin a = 1/√3 и pi/2 < a

Винни

46

Хорошо, решим задачу. Дано, что \(\sin{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(\frac{\pi}{2} < a\). Мы должны найти значения \(\cos{a}\) и \(\tan{a}\).

Давайте начнем с использования тригонометрической тождества \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\). Так как \(\sin{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}\), можем подставить это значение и решить для \(\cos{a}\):

\(\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \cos^2{a} = 1\)

\(\frac{1}{3} + \cos^2{a} = 1\)

Теперь можно выразить \(\cos{a}\):

\(\cos^2{a} = 1 - \frac{1}{3}\)

\(\cos^2{a} = \frac{2}{3}\)

\(\cos{a} = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\)

Учитывая, что угол \(a\) находится во второй четверти (так как \(\frac{\pi}{2} < a\)), мы можем сделать вывод, что \(\cos{a} < 0\). Следовательно, \(\cos{a} = - \sqrt{\frac{2}{3}}\).

Теперь рассмотрим вторую часть задачи и найдем значение тангенса. Формула для тангенса говорит нам, что \(\tan{a} = \frac{\sin{a}}{\cos{a}}\).

Подставим известные значения \(\sin{a} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) и \(\cos{a} = - \sqrt{\frac{2}{3}}\) в формулу:

\(\tan{a} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{-\sqrt{\frac{2}{3}}}\)

Чтобы упростить это выражение, можем умножить числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\(\tan{a} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{-\sqrt{\frac{2}{3}}} = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = - \sqrt{\frac{3}{2}}\)

Итак, ответ на задачу:

\(\cos{a} = - \sqrt{\frac{2}{3}}\)

\(\tan{a} = - \sqrt{\frac{3}{2}}\)