Какой объем тела получится при вращении прямоугольника со сторонами 4см и 6см вокруг прямой, находящейся на расстоянии

Волк

16

Конечно! Для решения данной задачи нам понадобится использовать формулу для вычисления объема тела вращения. Но прежде, чем начать, давайте разберемся с некоторыми основными понятиями.

Тело вращения - это тело, получаемое при вращении некоторой фигуры (в данном случае прямоугольника) вокруг некоторой оси (прямой, проходящей на расстоянии 5 см от большей стороны прямоугольника).

Объем тела вращения можно найти с помощью интеграла. Формула для вычисления объема тела вращения применительно к данной задаче имеет вид:

\[V = \pi \int_{a}^{b} R^2(x) \, dx\]

где:
- \(V\) - объем тела вращения,
- \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14,
- \(\int\) - интеграл,
- \(a\) и \(b\) - границы интегрирования,
- \(R^2(x)\) - квадрат расстояния от поворотной оси до элементарного отрезка прямоугольника.

Теперь перейдем к решению задачи. Для начала, определим границы интегрирования \(a\) и \(b\). В данной задаче прямоугольник вращается вокруг прямой, находящейся на расстоянии 5 см от большей стороны. Таким образом, верхняя граница интегрирования будет \(b = 6\), а нижняя граница будет \(a = 5\).

Теперь определим функцию \(R^2(x)\), которая представляет квадрат расстояния от поворотной оси до элементарного отрезка прямоугольника. В данном случае, так как поворотная ось находится на расстоянии 5 см от большей стороны, расстояние будет равно \(R(x) = 6 - x\). Тогда квадрат расстояния будет \(R^2(x) = (6 - x)^2\).

Теперь мы готовы вычислить объем. Подставив значения границ \(a\) и \(b\) и выражение для \(R^2(x)\) в формулу, получим:

\[V = \pi \int_{5}^{6} (6 - x)^2 \, dx\]

Вычислим этот интеграл. Возьмем первообразную \(-\frac{1}{3}(6-x)^3\) и вычислим разность в точках \(b\) и \(a\):

\[V = \pi \left[-\frac{1}{3}(6-x)^3\right]_{5}^{6}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[V = \pi \left[-\frac{1}{3}(6-6)^3 + \frac{1}{3}(6-5)^3\right]\]

\[V = \pi \left[-\frac{1}{3}(0^3) + \frac{1}{3}(1^3)\right]\]

\[V = \pi \left[0 + \frac{1}{3}\right]\]

\[V = \frac{\pi}{3}\]

Ответ: объем тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 4 см и 6 см вокруг прямой, находящейся на расстоянии 5 см от большей стороны, равен \(\frac{\pi}{3}\) (приблизительно 1.047 единиц объема).