Какой радиус описанной окружности у треугольника abc, если сторона ав равна 2 корень из 3 и угол с равен 120?

Сергеевич

15

Чтобы найти радиус описанной окружности у треугольника \(ABC\), мы можем использовать формулу \(R = \frac{abc}{4S}\), где \(a\), \(b\), и \(c\) - это длины сторон треугольника, а \(S\) - его площадь.

Для начала, нам нужно найти третью сторону треугольника \(AC\). Мы можем использовать теорему косинусов: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)\). В данной задаче известны \(a = 2\sqrt{3}\) и \(C = 120^\circ\). Таким образом, мы можем рассчитать:

\[c^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2(2\sqrt{3})\cdot(2\sqrt{3})\cos(120^\circ)\]
\[c^2 = 12 + 12 - 12\sqrt{3}\]
\[c^2 = 24 - 12\sqrt{3}\]

Теперь у нас есть значения всех трех сторон треугольника. Чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу Герона: \(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\), где \(p\) - полупериметр треугольника. Полупериметр \(p = \frac{a + b + c}{2}\). Подставим известные значения:

\[p = \frac{2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + \sqrt{24 - 12\sqrt{3}}}{2} = \sqrt{6} + \frac{\sqrt{24 - 12\sqrt{3}}}{2}\]

Теперь мы можем рассчитать площадь треугольника:

\[S = \sqrt{\left(\sqrt{6} + \frac{\sqrt{24 - 12\sqrt{3}}}{2}\right)\left(\sqrt{6} + \frac{\sqrt{24 - 12\sqrt{3}}}{2} - 2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6} + \frac{\sqrt{24 - 12\sqrt{3}}}{2} - 2\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6} + \frac{\sqrt{24 - 12\sqrt{3}}}{2} - \sqrt{24 - 12\sqrt{3}}\right)}\]

Чтобы упростить выражение, произведем несколько преобразований:

\[S = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{24 - 12\sqrt{3}}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{24 - 12\sqrt{3}}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{24 - 12\sqrt{3}}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{24 - 12\sqrt{3}}}{2}\right)}\]
\[S = \frac{\sqrt{(24 - 12\sqrt{3})(24 - 12\sqrt{3})(24 - 12\sqrt{3})(24 - 12\sqrt{3})}}{4}\]
\[S = \frac{\sqrt{(24 - 12\sqrt{3})^4}}{4}\]
\[S = \frac{24 - 12\sqrt{3}}{4}\]
\[S = 6 - 3\sqrt{3}\]

Теперь у нас есть площадь треугольника \(ABC\). Таким образом, мы можем рассчитать радиус описанной окружности:

\[R = \frac{abc}{4S} = \frac{(2\sqrt{3})(2\sqrt{3})(\sqrt{24 - 12\sqrt{3}})}{4(6 - 3\sqrt{3})}\]
\[R = \frac{12\sqrt{3}(\sqrt{24 - 12\sqrt{3}})}{4(6 - 3\sqrt{3})}\]
\[R = \frac{3\sqrt{72 - 36\sqrt{3}}}{6 - 3\sqrt{3}}\]
\[R = \frac{3\sqrt{36(2 - \sqrt{3})}}{6 - 3\sqrt{3}}\]
\[R = \frac{9\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{6 - 3\sqrt{3}}\]

Таким образом, радиус описанной окружности у треугольника \(ABC\) равен \(\frac{9\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{6 - 3\sqrt{3}}\).