Какой угол образует касательная к графику функции Y=4/x с осью Ох в точке с абсциссой х ₒ = - 2? 1) 45 º ; 2) 30 º

Добрый_Дракон

59

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся некоторые знания из алгебры и геометрии. Давайте начнем.

Функция \(Y=\frac{4}{x}\) — это гипербола с центром в начале координат (0,0). Мы хотим найти угол между осью Ох и касательной к графику функции в точке с абсциссой \(x_0 = -2\).

Для того чтобы найти угол, нам нужно найти тангенс этого угла. Для этого нам нужно найти производную функции и посчитать ее значение в точке \(x_0 = -2\).

Чтобы найти производную \(Y"=\frac{dY}{dx}\), мы можем использовать правило дифференцирования функции \(Y=\frac{4}{x}\). В данном случае, правило дифференцирования для функции \(Y=\frac{a}{x}\) (где \(a\) — постоянное значение) выглядит следующим образом:

\[
\frac{dY}{dx} = -\frac{a}{x^2}
\]

Применяя это правило к нашей функции, получаем:

\[
Y" = -\frac{4}{x^2}
\]

Теперь, найдем значение \(Y"\) в точке с абсциссой \(x_0 = -2\). Подставим \(x = -2\) в \(Y"\):

\[
Y"_{x=-2} = -\frac{4}{(-2)^2} = -\frac{4}{4} = -1
\]

Мы получили значение производной \(Y"\) в точке \(x_0 = -2\).

Теперь, чтобы найти значение тангенса угла, образованного касательной к графику функции с осью Ох, мы можем использовать следующую формулу:

\[
\tan(\theta) = Y"_{x=-2}
\]

Где \(\theta\) — угол, который мы ищем.

Таким образом, мы получаем:

\[
\tan(\theta) = -1
\]

Чтобы найти сам угол, мы можем воспользоваться обратной функцией тангенса \(\arctan\). Применяя \(\arctan\) к обоим сторонам уравнения, получаем:

\[
\theta = \arctan(-1)
\]

Округлим ответ до ближайшего градуса:

\[
\theta \approx -45^\circ
\]

Итак, угол, образованный касательной к графику функции \(Y=\frac{4}{x}\) с осью Ох в точке с абсциссой \(x_0 = -2\), составляет приблизительно -45 градусов.

Ответ: 1) 45 º