What is the length of the vector 1) ab+ad 1; 2) ab1+ad1 in the unit cube abcda1b1c1d1?

Луна_В_Облаках

47

Хорошо, задача состоит в определении длины вектора в единичном кубе. Давайте пошагово разберемся.

1) Рассмотрим первый вектор ab + ad.
Для начала, давайте определим, что такое вектор. В математике, вектор - это объект, который имеет направление и длину. В данном случае, ab и ad - это два вектора, соответствующие сторонам параллелограмма, образованного векторами ab и ad.

Чтобы найти длину вектора ab + ad, мы можем использовать теорему Пифагора. Согласно этой теореме, длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна квадратному корню суммы квадратов длин катетов.

В данном случае, ab и ad - это катеты нашего треугольника. Давайте найдем их длины.

Длина вектора ab:
По определению единичного куба, каждая сторона имеет длину 1. Таким образом, длина вектора ab равна 1.

Длина вектора ad:
Мы можем найти длину вектора ad с помощью формулы расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Для этого нам понадобятся координаты точек a и d.
В единичном кубе, координаты точки a равны (0,0,0), а координаты точки d равны (1,0,0).
Подставляя значения в формулу, получаем:
\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]
\[d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 0)^2}\]
Длина вектора ad таким образом равна 1.

Итак, имеем два вектора ab и ad, длины которых равны 1 и 1 соответственно. Чтобы найти длину вектора ab + ad, мы суммируем соответствующие компоненты и применяем теорему Пифагора.

\[|ab + ad| = \sqrt{(1 + 1)^2 + (0 + 0)^2 + (0 + 0)^2} = \sqrt{4} = 2\]

Таким образом, длина вектора ab + ad в единичном кубе равна 2.

2) Рассмотрим второй вектор ab_1 + ad_1.
Аналогично предыдущему шагу, нам необходимо определить длину двух векторов: ab_1 и ad_1.

Длина вектора ab_1:
В нашем случае, точка b_1 имеет координаты (1,1,1), поскольку координаты точки b уже равны (1,0,0), и мы продолжаем двигаться вдоль той же оси. Это означает, что длина вектора ab_1 тоже равна 1.

Длина вектора ad_1:
Точка d_1 находится на расстоянии 1 по оси x от точки d, и на расстоянии 1 по оси y от точки b. Она имеет координаты (1,0,1). Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками, чтобы найти длину вектора ad_1.
\[d_1 = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 1)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{3}\]

Итак, имеем два вектора ab_1 и ad_1, длины которых равны 1 и \(\sqrt{3}\) соответственно. Теперь мы можем найти длину вектора ab_1 + ad_1.

\[|ab_1 + ad_1| = \sqrt{(1 + 1)^2 + (0 - 1)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{11}\]

Таким образом, длина вектора ab_1 + ad_1 в единичном кубе равна \(\sqrt{11}\).