Какой угол образуется между плоскостью боковой грани и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды, если

Мирослав

32

Для решения данной задачи нам потребуется знание геометрии и теоремы о треугольнике.

Пусть \(ABC\) - это основание правильной треугольной пирамиды, где \(AB = BC = CA\) - длина стороны основания. Для удобства, проведем высоту \(CH\) пирамиды \(ABC\), где \(H\) - вершина пирамиды.

Так как пирамида является правильной, то угол между плоскостью боковой грани пирамиды и плоскостью основания будет равен углу между прямой, проходящей через вершину пирамиды и основание, и плоскостью основания.

Обозначим это угол как \(x\).

Теперь посмотрим на прямоугольный треугольник \(ACH\), где вершина \(H\) - это вершина пирамиды, а катеты \(AH\) и \(CH\) - это высоты пирамиды и основания соответственно.

Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

\[AC^2 = AH^2 + CH^2\]

Но так как пирамида является правильной, то \(AC = AB\), а \(CH\) равно половине высоты основания (\(CH = \frac{1}{2}\cdot15 = 7.5\)). Также, мы знаем, что \(AH = 5\).

Подставим известные значения в уравнение:

\[AB^2 = 5^2 + 7.5^2\]

\[AB^2 = 25 + 56.25\]

\[AB^2 = 81.25\]

Чтобы найти длину стороны основания, возьмем квадратный корень из обоих сторон:

\[AB = \sqrt{81.25}\]

\[AB = 9.01\]

Теперь нам известны длина стороны основания (\(AB\)) и длина высоты основания (\(CH\)). Мы можем использовать свойства треугольника, чтобы найти нужный нам угол \(x\).

Рассмотрим треугольник \(ACH\). У нас есть прямой угол между \(AH\) и \(CH\), и нам нужно найти угол \(x\) между \(AC\) и \(CH\).

Мы можем использовать тангенс угла \(x\), который определяется как отношение противолежащего катета и прилежащего катета:

\[\tan(x) = \frac{CH}{AH}\]

Подставим известные значения:

\[\tan(x) = \frac{7.5}{5}\]

\[\tan(x) = 1.5\]

Теперь, чтобы найти угол \(x\), мы можем использовать арктангенс (или обратную тангенс) функцию. Обозначим этот угол как \(\theta\):

\[x = \arctan(1.5)\]

Используя калькулятор, можно получить значение угла в градусах: \(x \approx 56.31^\circ\)

Таким образом, угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания правильной треугольной пирамиды примерно равен \(56.31^\circ\)