Какой угол образуют векторы a=1; 2; 3 и b=6?

Morskoy_Shtorm

69

Чтобы найти угол между двумя векторами, нам понадобится использовать скалярное произведение векторов. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение модулей векторов на косинус угла между ними.

Для начала, посчитаем модуль вектора a и модуль вектора b. Вектор a имеет координаты (1, 2, 3). Для нахождения его модуля воспользуемся формулой:

\[\|a\| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\]

Подставляем значения:
\(\|a\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}\)

Вектор b имеет координаты (6, 0, 0). Для его модуля воспользуемся аналогичной формулой:

\(\|b\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + b_3^2}\)

Подставляем значения:
\(\|b\| = \sqrt{6^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 0 + 0} = \sqrt{36} = 6\)

Теперь найдем скалярное произведение векторов a и b. Скалярное произведение определяется следующим образом:

\[a \cdot b = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3\]

Подставляем значения:
\(a \cdot b = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 6\)

Зная модули векторов a и b, а также скалярное произведение a и b, можем найти косинус угла между ними по следующей формуле:

\(\cos \theta = \frac{a \cdot b}{\|a\| \cdot \|b\|}\)

Подставляем значения:
\(\cos \theta = \frac{6}{\sqrt{14} \cdot 6} = \frac{6}{6\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{14}}\)

Наконец, чтобы найти сам угол между векторами a и b, воспользуемся обратной косинусной функцией (арккосинусом):

\(\theta = \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)\)

Полученное значение угла будет в радианах. Если нужно выразить его в градусах, достаточно умножить его на \(\frac{180}{\pi}\):

\(\theta_{\text{град}} = \frac{180}{\pi} \cdot \theta\)

Таким образом, для нахождения угла между векторами a и b нужно вычислить значения для \( \|a\|, \|b\|, a \cdot b, \cos \theta\) и \(\theta_{\text{град}}\) следующим образом:

\(\|a\| = \sqrt{14}\)

\(\|b\| = 6\)

\(a \cdot b = 6\)

\(\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{14}}\)

\(\theta_{\text{град}} = \frac{180}{\pi} \cdot \arccos \left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right)\)