Какой угол падения света на плоскую границу между воздухом и стеклом, при условии, что длина волны света изменяется

Солнечный_Наркоман

5

Для решения данной задачи нам понадобятся законы преломления света и индекс преломления.

Первый закон преломления (закон Снеллиуса) гласит, что отношение синусов углов падения и преломления равно отношению индексов преломления двух сред:
\[\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\]
где \(\theta_1\) - угол падения, \(\theta_2\) - угол преломления, \(n_1\) - индекс преломления первой среды (воздуха), \(n_2\) - индекс преломления второй среды (стекла).

В данной задаче нам даны длины волн света в воздухе (\(\lambda_1 = 600 \, \text{нм}\)) и в стекле (\(\lambda_2 = 420 \, \text{нм}\)). Длина волны связана с индексом преломления следующим образом:
\[n = \frac{{c_0}}{{v}}\]
где \(c_0\) - скорость света в вакууме (\(3 \times 10^8 \, \text{м/с}\)), \(v\) - скорость света в среде.

Используя данную формулу для воздуха и стекла, получаем:
\[n_1 = \frac{{c_0}}{{v_1}} = \frac{{3 \times 10^8}}{{(3 \times 10^8) / \lambda_1}} = \frac{{\lambda_1}}{{10^{-9}}} \, \text{и} \, n_2 = \frac{{\lambda_2}}{{10^{-9}}}\]

После этого нам нужно найти углы падения и преломления, при которых отраженный и преломленный лучи образуют прямой угол. Поскольку угол падения и угол преломления определяются относительно нормали к поверхности, у которой происходит преломление, у нас будет такая зависимость:

\[\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ\]

Теперь мы можем составить систему уравнений и решить ее.

Сначала мы заменяем синусы углов на их косинусы, исходя из зависимости \(\sin^2(\phi) + \cos^2(\phi) = 1\):
\[\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\cos(\theta_1)}} + \frac{{\sin(\theta_2)}}{{\cos(\theta_2)}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\]

Делим обе части уравнения на \(\cos(\theta_1) \cdot \cos(\theta_2)\):
\[\tan(\theta_1) + \tan(\theta_2) = \frac{{n_2}}{{n_1}}\]

Затем вспоминаем тригонометрическое тождество для суммы аргументов:
\[\tan(a + b) = \frac{{\tan(a) + \tan(b)}}{{1 - \tan(a) \cdot \tan(b)}}\]

Применяем это тождество, подставляя \(a = \theta_1\) и \(b = \theta_2\):
\[\tan(\theta_1 + \theta_2) = \frac{{\tan(\theta_1) + \tan(\theta_2)}}{{1 - \tan(\theta_1) \cdot \tan(\theta_2)}}\]

Используя условие \(\theta_1 + \theta_2 = 90^\circ\), получаем:
\[\tan(90^\circ) = \frac{{\tan(\theta_1) + \tan(\theta_2)}}{{1 - \tan(\theta_1) \cdot \tan(\theta_2)}}\]

Так как \(\tan(90^\circ)\) неопределено, то \(\tan(\theta_1) \cdot \tan(\theta_2) = 1\).

Теперь мы имеем систему уравнений, которую можем решить:
\[\begin{cases} \tan(\theta_1) + \tan(\theta_2) = \frac{{n_2}}{{n_1}} \\ \tan(\theta_1) \cdot \tan(\theta_2) = 1 \end{cases}\]

Давайте решим эту систему уравнений и найдем значения углов падения и преломления.