Какой является самым маленьким положительным периодом функции y=ctg2x - 2cosx?

Мирослав

69

Для начала, давайте разберемся, что значит "положительный период функции". Положительный период функции - это интервал по оси абсцисс, на котором значение функции повторяется несколько раз, при условии, что функция имеет повторяющуюся структуру.

Функция, данная в вашей задаче, это \(y = \cot(2x) - 2\cos(x)\). Чтобы найти ее положительный период, мы должны найти наименьшее положительное число \(p\), для которого выполнится равенство \(f(x + p) = f(x)\), где \(f(x)\) обозначает данную функцию.

Давайте начнем, подставив вместо \(x\) значение \(x + p\):

\[f(x + p) = \cot(2(x + p)) - 2\cos(x + p)\]

Если мы хотим, чтобы это равнялось \(f(x)\), то мы должны иметь:

\[\cot(2(x + p)) - 2\cos(x + p) = \cot(2x) - 2\cos(x)\]

Следовательно, нам нужно решить уравнение:

\[\cot(2(x + p)) - 2\cos(x + p) = \cot(2x) - 2\cos(x)\]

Теперь давайте посмотрим на \(1\) период функции \(\cot(2x)\). У функции \(\cot(2x)\) период равен \(\pi\). То есть, если мы добавим или вычтем \(\pi\) к \(x\), \(x + \pi\) или \(x - \pi\), значение функции \(\cot(2x)\) будет таким же.

Так же, у функции \(\cos(x)\) период равен \(2\pi\). Аналогично, если мы добавим или вычтем \(2\pi\) к \(x\), значение функции \(\cos(x)\) не изменится.

Теперь вернемся к уравнению, которое мы получили:

\[\cot(2(x + p)) - 2\cos(x + p) = \cot(2x) - 2\cos(x)\]

Заметим, что у нас есть две функции, каждая со своим периодом. Поэтому, чтобы найти наименьшее положительное число \(p\), при котором это равенство выполняется, мы должны смотреть на комбинацию периодов обеих функций.

Наименьшее общее значение, которое делится как на период \(\pi\) функции \(\cot(2x)\), так и на период \(2\pi\) функции \(\cos(x)\), это \(2\pi\).

Следовательно, самый маленький положительный период функции \(y = \cot(2x) - 2\cos(x)\) составляет \(2\pi\).

Мы сделали это, давая шаг за шагом подробное объяснение, чтобы убедиться, что ответ понятен школьнику. Если у вас возникли еще какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задать их.