Какую дробь нужно найти, если при добавлении 1 к числителю и 2 к знаменателю она не изменяется, а при добавлении

Кира

18

Давайте решим эту задачу пошагово:

Пусть искомая дробь имеет числитель \(x\) и знаменатель \(y\). Тогда по условию задачи у нас есть два уравнения:

1) При добавлении 1 к числителю и 2 к знаменателю, дробь не изменяется:

\(\frac{{x+1}}{{y+2}}=\frac{{x}}{{y}}\)

2) При добавлении 2 к числителю и вычитании 1 из знаменателя, дробь увеличивается в 6 раз:

\(\frac{{x+2}}{{y-1}}=6\frac{{x}}{{y}}\)

Давайте решим эти уравнения последовательно.

Уравнение 1 можно переписать в виде:

\(xy + x = xy + 2x + 2y\)

Вычитаем \(xy\) из обеих частей уравнения и упростим:

\(x = 2x + 2y\)

Теперь решим уравнение 2:

\((x+2)y = 6xy -6x\)

Раскроем скобки и упростим:

\(xy + 2y = 6xy - 6x\)

Вычитаем \(xy\) и \(2y\) из обеих частей уравнения:

\(0 = 5xy - 8x - 2y\)

Теперь у нас есть два уравнения:

1) \(x = 2x + 2y\)
2) \(0 = 5xy - 8x - 2y\)

С помощью этих уравнений мы можем найти значения переменных \(x\) и \(y\), которые соответствуют условию задачи.

Приступим к решению системы уравнений. Для этого произведем несколько преобразований первого уравнения, чтобы выразить \(x\) через \(y\):

\(x = 2x + 2y \Rightarrow x - 2x = 2y \Rightarrow - x = 2y \Rightarrow x = -2y\)

Теперь подставим это значение \(x\) во второе уравнение:

\(0 = 5(-2y)y - 8(-2y) - 2y\)

Раскроем скобки и упростим:

\(0 = -10y^2 + 16y - 2y\)

Комбинируем подобные члены:

\(0 = -10y^2 + 14y\)

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, можно вынести общий множитель:

\(0 = 2y(-5y + 7)\)

Таким образом, мы получили два возможных значения для \(y\): \(y = 0\) или \(y = \frac{7}{5}\).

Теперь подставим найденные значения \(y\) обратно в первое уравнение, чтобы найти соответствующие значения \(x\):

1) При \(y = 0\), получаем \(x = -2 \cdot 0 = 0\).
2) При \(y = \frac{7}{5}\), получаем \(x = -2 \cdot \frac{7}{5} = -\frac{14}{5}\).

Итак, решение задачи заключается в двух дробях:

1) \(\frac{0}{0}\)
2) \(-\frac{14}{5}\)