Какую минимальную угловую скорость вращения сосуда, равную рад/с, должен иметь, чтобы выбросить маленький шарик

Zagadochnyy_Zamok

25

Для того чтобы решить задачу, мы можем использовать принцип сохранения энергии. При установлении равновесия шарика на дне сосуда и перед его выбросом, потенциальная энергия шарика будет равна его кинетической энергии после выброса.

Давайте выведем выражение для потенциальной энергии шарика на дне сосуда. Потенциальная энергия шарика зависит от его массы (m), ускорения свободного падения (g) и его высоты (h) относительно дна сосуда.

В данной задаче высоту шарика относительно дна сосуда можно выразить через радиусы оснований расширяющегося усеченного конуса:

\[h = \frac{R}{2} \cdot \tan(a)\]

где R - радиус дна сосуда, a - угол наклона стенок сосуда.

Таким образом, потенциальная энергия шарика будет вычисляться по формуле:

\[E_{\text{пот}} = m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot \frac{R}{2} \cdot \tan(a)\]

Кинетическая энергия шарика после выброса равна:

\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

где v - скорость шарика после выброса.

По принципу сохранения энергии, потенциальная энергия должна равняться кинетической энергии:

\[E_{\text{пот}} = E_{\text{кин}}\]

\[m \cdot g \cdot \frac{R}{2} \cdot \tan(a) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Масса шарика (m) сокращается, и у нас остается следующее уравнение:

\[g \cdot \frac{R}{2} \cdot \tan(a) = \frac{1}{2} \cdot v^2\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно скорости шарика (v):

\[v = \sqrt{2 \cdot g \cdot \frac{R}{2} \cdot \tan(a)} = \sqrt{g \cdot R \cdot \tan(a)}\]

В этом уравнении g - ускорение свободного падения, R - радиус дна сосуда, a - угол наклона стенок сосуда.

Давайте подставим известные значения:

\[v = \sqrt{10 \cdot 0.1 \cdot \tan(60°)}\]

Для удобства вычисления, представим тангенс 60° через синус и косинус 60°:

\[v = \sqrt{10 \cdot 0.1 \cdot \frac{\sin(60°)}{\cos(60°)}}\]

\[v = \sqrt{10 \cdot 0.1 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}}\]

\[v = \sqrt{10 \cdot 0.1 \cdot \sqrt{3}}\]

\[v = \sqrt{10 \cdot 0.1 \cdot \sqrt{3}} \approx 1.732\]

Таким образом, минимальная угловая скорость вращения сосуда, необходимая для выброса шарика, равна примерно 1.732 рад/с.